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专题训练（四）概率的计算与应用
类型1用树状图或表格求概率
(2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老
1.(2020金华)如图，有一些写有号码的卡片，它
师被分配到同一个监督岗的概率.
们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任
意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
(
A.2
B.3
C.2
D.
(第1题图)】
(第3题图)
2.(2020西安期末)某地新高考有一项“6选3”选
课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生
7.(海阳期中)垫球是排球队常规训练的重要项
物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历
目之一.训练课上，甲、乙、丙三人相互之间进
史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中
行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他
的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人
两人，球最先从甲手中传出，共进行两次垫球。
选化学的概率为
()
(1)请列举出两次传球的所有等可能情况：
A
B
C.
D.
(2)求两次传球后，球回到甲手中的概率；
3.(达州)如图所示的电路中，当随机闭合开关
(3)两次传球后，球传到乙手中的概率大还是
S,S,S中的两个时，能够让灯泡发光的概率
传到丙手中的概率大？请说明理由。
为
4.(成都)一个盒子中装有10个红球和若干个白
球，这些球除颜色外都相同.再往该盒子中放
入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个
球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的
白球的个数为
5.(重庆)一个不透明的布袋内装有除颜色外，其
余完全相同的3个红球、2个白球、1个黄球，
搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放
回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸
类型2用概率确定游戏是否公平
到红球的概率为
4
8.下面的游戏规则中，不公平的是
()
6.(2020营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日
A.掷骰子，点数比4小甲赢，点数比4大则乙赢
渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立
B.两人抛硬币，抛到正面甲赢，抛到反面乙赢
“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督
C.用石头、剪刀、布的方法决定输赢
岗”：①洗手监督岗；②戴口罩监督岗；③就餐
D.盒子里有2黄2红5白9个球，摸出黄球
监督岗：④操场活动监督岗，李老师和王老师
甲赢，摸出红球乙赢
报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志
9.用抛瓶盖的方法决定输赢，具体规则是：盖面朝
愿者随机分配到四个监督岗，
上甲赢，盖面朝下乙赢，这个游戏
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
(填“公平”或“不公平”).
049参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
