参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
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第一章
特殊平行四边形
→1
菱形的性质与判定
第1课时
菱形的性质
7.如图，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，
知识要点全练
002心c心c'0co00eCec0ci0
PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的
知识点1菱形的定义
距离是
cm.
1.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四
边形是
(
)
A,正方形
B.矩形
C.菱形
D.以上答案都不对
2.如图，在□ABCD中，：∠1=∠2，.BC=DC
(第7题图)
(第8题图)
.□ABCD是菱形(
8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的
)(请在括号内填上理由).
垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,
连接CP,则∠CPB=
9.(2020甘孜州)如图，在菱形ABCD中，对角线
AC,BD相交于点O,E为AB的中点.若菱形
(第2题图)】
(第4题图)
ABCD的周长为32，则OE的长为
知识点2菱形的性质与应用
3.(2020贵阳)菱形的两条对角线长分别是6和
8,则此菱形的周长是
(
A.5
B.20
C.24
D.32
(第9题图)
(第10题图》
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交
10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
于点O,下列说法错误的是
()
则点D的坐标为
A.AB=BC
B.AC⊥BD
11.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,
C.AC=BD
D.∠ABD=∠CBD
延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°.已知
(1)求证：BD=EC:
△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是
(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小.
(
A.25
B.20
C.15
D.10
(第5题图)
(第6题图》
6.(2020遵义)如图，在菱形ABCD中，AB=5,
AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线
于点E,则线段DE的长为
()
A.12
B.
C.4
D.24
001
第一章特殊平行四边形
17.(北京改编)如图，在菱形ABCD中，AC为对
规律方法全练
捉升能力
角线，点E,F分别在AB,AD上，BE=DF,
12.(2020牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O
连接EF
是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴
(1)求证：AC⊥EF;
且AD=4,∠A=60°，将菱形ABCD绕点O
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接
旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的
BD交AC于点O.若BD=4√3，∠G=
对应点的坐标是
30°，求A0的长.
A.(0,2√3)
B.(2,-4)
C.(2√3,0)
D.(0,2√3)或(0，-2√3)
13.菱形的周长是40cm,两邻角的度数之比是
1:2,则较短的对角线长是
cm.
14.(2020哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角
线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上，
连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,
EO=1,则线段AE的长为
探究创新全练
挑战自我
(第14题图)
(第15题图)
15.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，
18.如图，在菱形ABCD中，F是BC上的任意
点，连接AF交对角线BD于点E,连接EC
E为BC的中点，在对角线AC上存在一点
(1)求证：AE=EC:
P,使△PBE的周长最小，则△PBE的周长
(2)当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在
最小值为
线段BC上的什么位置？请说明理由.
16.如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E,
F分别是边BC,AD的中点，
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°，AB=4,求线段AE的长，
数学·九年级·上册·BS002
