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→2矩形的性质与判定
第1课时
矩形的性质
7.(宁夏改编)如图，已知在矩形ABCD中，点E,
知识要点全练
夯实燕
础
F分别是AD,AB上的点，EF⊥EC,且AE=
知识点1矩形的定义和性质
CD.求证：AF=DE.
1.(十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的
性质是
()
A.对边相等
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角相等
2.(2020怀化)如图，在矩形ABCD中，AC,BD
相交于点O,若△AOB的面积为2，则矩形
ABCD的面积为
(
A.4
B.6
C.8
D.10
(第2题因)
(第3题图
3.(2020毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线
AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD
的中点，连接EF,若AB=6cm,BC=8cm,则
EF的长是
()
知识点2直角三角形斜边上中线的性质
A.2.2 cm B.2.3 cm C.2.4 cm D.2.5 cm
8.如图，在四边形ABDC中，∠BDC=90°，AB⊥
4.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到
BC于点B,点E是BC的中点，连接AE,DE,则
△BCD,CD与AB相交于点E.若∠1=35°，
AE与DE的大小关系是
()
则∠2的度数为
(
)
A.AE=DE
B.AE>DE
A.20
B.30
C.35
D.55
C.AED.不能确定
Ac
(第4题图》
(第5題图)
(第8题图)
(第9题图)
5.(2020烟台改编)如图，在矩形ABCD中，点E
9.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD
在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC
平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中
边上的点F处，若AB=3,BC=5,则CF的长
点，连接DE,则△CDE的周长为
()
为
A.20B.18
C.14
D.13
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交
10.(2020宁波)如图，在
于点O,AB=4,∠AOD=120°，求AC的长.
Rt△ABC中，∠ACB=
90°，CD为中线，延长
CB至点E,使BE=
BC,连接DE,F为DE
的中点，连接BF.若AC=8,BC=6,则BF
的长为
()
A.2B.2.5
C.3
D.4
005
第一章特殊平行四边形
15.如图，AD,BE是△ABC的高，F是DE的中
规律方法全练
捉升能
点，G是AB的中点.求证：GF⊥DE.
11.(2020达州)如图，∠BOD=
45°，BO=DO,点A在OB
上，四边形ABCD是矩形，
连接AC,BD交于点E,连)4
接OE交AD于点F.下列4个判断：①OE平
分∠BOD:②OF=BD;③DF=√2AF:④若
点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直
角三角形.其中正确判断的个数是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
丝探究创新全练
挑战自我
12.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使
X5XXXXX*X5**X8X*3
CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°，则
16,定义：我们把三角形被一边中线分成的两个
∠E=
三角形叫做“友好三角形”，
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么
这两个三角形的面积相等.
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上
的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角
形”，并且S△AC=S△CD·
(第12题图)
(第13题图)
13.(2020钢仁)如图，在矩形ABCD中，AD=4,
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=
将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1,
6,点E在AD上，点F在BC上，AE=BF,AF
与BE相交于点O,
折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折，点B
(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
恰好落在DE上，记为B1,则AB=
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三
14.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,CD
角形”，求四边形CDOF的面积.
上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与对角
线AC相交于点O,且BE=BF,∠BEF=
2∠BAC.
(1)求证：OE=OF;
(2)若BC=2√3，求AB的长.
数学·九年级·上册·BS006参考答案
第一章特殊平行四边形
Rt△AHE(HL).,.AC=AH..'AE平分∠CAB.∴.∠CAF=
(AC-AH.
1菱形的性质与判定
∠HAF.在△CAF和△HAF中，∠CAF=∠HAF,
第1课时菱形的性质
AF=AF.
1.C2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形3.B
.△CAF≌△HAF(SAS)..∠ACD=∠AHF.CD⊥
4.C5.B6.D7.48.72°9.410.(2+√2，√2)
AB,∠ACB=90°，.∠CDA=∠ACB=90°，.∠B十
11.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥
∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°..∠ACD=∠B
CD.又BE=AB,,BE=CD,BE∥CD.,四边形BECD
∠AHF.∴.FH∥CE.:CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CF∥EH,
是平行四边形.，BD=EC.(2)解：·四边形BECD是
.四边形CFHE是平行四边形.，CE=EH,∴.四边形
平行四边形，.BD∥CE..∠ABO=∠E=50°.又四边
CFHE是菱形.17.(1)证明：：△ABC是等
形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴.∠BAO=90°-∠ABO=
腰三角形，AD是边BC上的高，∴.点D为BC
40°，12.D13.1014.2√215.√3+1
的中点.：点E是AB的中点，∴.DE∥AC.同
16.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，∠B=∠D,AB
理，DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形
CD,BC=DA.又E,F分别是边BC,AD的中点，∴.BE=
,点E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC,
DF-BC--
∴.AE=AF.∴.四边形AEDF是菱形.(2)解：连接EF
DA.△ABE≌△CDF.(2)23,
交AD于点O,,菱形AEDF的周长为12，，AE=3,设
17.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，，.AC平分∠BAD
AO=x,EO=.,菱形AEDF的两条对角线的和等于7，
AB=AD.BE=DF,.AB一BE=AD一DF,即AE=
7
,x十y=
,在△AE0中，由勾股定理得AO十EO=
AF.又，'AC平分∠BAD,.AC⊥EF(三线合一).
(2)解：，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,BO=DO=
AE,即x2十y2=32=9,变形得(x十y)2一2xy=9,即
2BD=2V3,AO=OC.又AC⊥EF,BD∥EF.
(号）广-2y=9,解得y-,四边形ABDF的面积
∠BDC=∠G=30..在Rt△COD中，CD=2OC,
2xyX4=13
S=
1
OC+OD=CD.设OC=x,则CD=2x,∴.x2+(23)=
(2x)2.解得=2，x2=-2(舍)，即OC=2..A0=OC=
2矩形的性质与判定
2.18.(1)证明：连接AC.,BD是菱形ABCD
第1课时矩形的性质
的对角线，.BD垂直平分AC.,AE=EC
1.B2.C3.D4,A5.16.解：四边形ABCD是矩
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，在
形，.OA=OB=OC=OD.:∠AOD=120°，∠AOB=
菱形ABCD中，AB=BC,又，∠ABC=60°
60°.∴.△AOB是等边三角形..AO=AB=4..AC=
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°.，AE=
2AO=8.7.证明：，四边形ABCD是矩形，.∠A
EC,∠CEF=60°，..∠EAC=30°，∠EAB=
∠D=90°.，EF⊥CE,.∠FEC=90°..∠AEF+∠DEC=
30°.∴.AF是△ABC的角平分线.，AF交BC于点F,
90°.又，在△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，∴.∠AFE=
AF是等边△ABC的BC边上的中线.∴点F是线段BC
∠A=∠D,
的中点.
∠DEC.在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠DEC,
第2课时菱形的判定
AE=CD.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.AB=AC
∴.△AEF≌△DCE(AAS).∴.AF=DE.8.B9.C
6.证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形，
10.B11.A12.15°13.23
∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.,AE=CF,.OE=OF
14.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,
四边形BEDF是平行四边形.，EF⊥BD,.四边形
∠BAC=∠FCO.又，∠AOE=
BEDF是菱形
∠COF,AE=CF,..△AOE≌△COF
(AAS).∴.OE=OF.(2)解：连接OB.
,BE=BF,OE=OF,,BO⊥EF.△AOE≌△COF
∴.AO=CO.又，AB⊥BC,∴.OA=OB=OC.∴.∠BAC
∠ABO.:∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°，即
2∠BAC+∠BAC=90°..∴.∠BAC=30°..BC=2/3,
(第6题图)
(第9题图)
..AC=2BC=43...AB=ACe-BC=6.
7.D8.49.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形
15.证明：连接GE,GD.AD,BE是△ABC的
.AD∥BC..∠DAC=∠BCA.∠BAC=∠DAC,
,∠BAC=∠BCA.∴，AB=BC.(2)解：连接BD交AC
高，G是AB的中点，GE=
AB.GD=
于点O,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,,四边
形ABCD是菱形.·AC⊥BD,OA=OC=号AC=5,
AB.GE=GD,:F是DE的中点，GFL
DE.16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，，AD∥BC
∴.∠EAO=∠BFO.又.∠AOE=∠FOB.AE=BF,
OB=OD=BD.:.OB=AB-OA=2-(3)=
,'.△AOE≌△FOB.,,EO=BO.'.AO是△ABE的边BE
1.BD=20B=2.÷口ABCD的面积=号AC·BD=
上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”
(2)解：：△AOE和△DOE是“友好三角形”，.SAE=
7×25×2=25.10.D1.12012.国13.菱形
SADOEAE=-ED=2AD=3.“△AOB和△AOE是“友好
16√214.8√315.证明：：DM∥AB,.∠BAM=
三角形”，S△wB=S△0E,△AOE≌△FOB,.S△E=
∠AMD.,△ADC是由△ABC翻折得到.∴.∠CAB=∠CAD.
S△O8..S△ND=S△AF.·SH边EIOF=SEAD一2S△F=4X
AB=AD,BM=DM.∴∠DAM=∠AMD..DA=DM=
6-2×1×4×3=12.
2
AB=BM..四边形ABMD是菱形.16.证明：：∠ACB=
90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB,∴.CE=EH.在Rt△ACE和
第2课时矩形的判定
Rt△AHE中，AE=AE,CE=EH,∴.Rt△ACE≌
1.C2.证明：(1)，AF∥BC,.∠AFE=∠DBE.,E是线
·155·
