2022-2023学年上海市松江四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2022-2023学年上海市松江四中高二（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设且为偶数时等式成立，则还需要再证( )
A. 时等式成立 B. 时等式成立
C. 时等式成立 D. 时等式成立
如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，D.空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
已知数列满足，且，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54分）
实数和的等比中项是______．
已知，且，则 ．
已知球的半径为，则球的表面积为______ ．
已知数列为等差数列，，，则数列的公差为______．
如图，在斜四棱柱中，为与的交点，若，请用来表示向量______．
已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为______．
数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若，则在方向上的投影向量的坐标为______．
我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有盏灯，则______．
已知等比数列的公比，且，则______．
空间四边形中，且与所成角为，，分别是，的中点，则与所成角的大小为______．
已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足且，若、、在同一直线上，则______．
三、解答题（本大题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知空间三个点，，与．
设，求与的夹角；
求点到平面的距离．
本小题分
如图，在三棱锥中，是正三角形，点为边中点，平面，且．
求三棱锥的体积；
若为中点，求与面所成角大小．
本小题分
在数列中，，，其中为给定的正整数，的前项和为．
若为等比数列，，求：
若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，长方体中中，，，点为面的对角线上的动点不包括端点，于．
若点是的中点，求线段的长度；
设，将表示为的函数，并写出定义域；
当最小时，求直线与平面所成角的大小．
本小题分
对于数列，定义为数列的差分数列，其中，如果对任意的正整数，都有，则称数列为差分增数列．
已知数列，，，，，为差分增数列，求实数的取值范围；
已知数列为差分增数列，且，且若，求非零自然数的最大值；
已知项数为的数列是差分增数列，且所有项的和等于，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，
即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；
反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”．
因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，
故选B．
先判断与的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．
判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．
2.【答案】
【解析】解：若已假设为偶数时命题为真，
因为只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：．
首先因为为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设为偶数时命题为真，因为只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立．
本题考查数学归纳法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，
因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，
对选项，如图，连接、、，因为、分别为、的中点，
易证，故A、、、四点共面，与相交，A错误；
对、选项，如图，连接B、，易证、、、四点共面，
故DB、都与相交，、C错误；
对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，
平面，平面，且平面，点，
与为异面直线，
同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，
平面，平面，且平面，点，
与为异面直线，
故D与，都没有公共点，选项正确．
故选：．
线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
又，，，，
对于，若，则，，
，，A错误；
对于，若，则，
，即，，B错误；
对于，设，则，
考虑函数与的图象，如下图所示：
当时，单调递减，且越来越小，，
，C错误；
对于，设，则，
若，则，
等价于，即，即，
而显然成立，正确．
故选：．
化简已知递推关系式可得到，由此分别判断，选项，可知，B错误；设，则；采用数形结合的方式知越来越小，C错误；假设成立，通过化简不等式可知不等式恒成立，知D正确．
本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得到数列前后项所满足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象来进行表现，属于难题．
5.【答案】
【解析】解：由，，成等比数列，可得等比中项，
则实数和的等比中项是．
故答案为：．
由，，成等比数列，可得等比中项，计算即可得到所求值．
本题考查等比数列的中项的定义和求法，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：，属于基础题．
利用向量共线的充要条件列出方程存在实数使得即解方程求出的值．
【解答】
解：因为，且，
所以存在实数使得，
即，
解得．
故答案为．

7.【答案】
【解析】解：球的半径，
故球的表面积．
故答案为：
由已知中的球半径，代入球的表面积公式，可得答案．
本题考查的知识点是球的表面积公式，直接代入计算即可，难度不大，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：数列为等差数列，，，
公差，
故答案为：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：依据题意，，
，
又，
，
故答案为：．
首先利用向量减法法则表示出，再利用即可求解．
本题考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设圆柱的底面半径为，高为，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，，
所以，
所以圆柱的体积为．
故答案为：．
根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积．
本题考查了圆柱的侧面展开图以及体积的计算问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式的灵活运用．
，当时当时，，由此能求出数列的通项公式．
【解答】
解：，
当时，
．
当时，，
．
故答案为：．

12.【答案】
【解析】解：过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，，
，，，，
，，
在方向上的投影向量的坐标，
故答案为：．
由可求出各个点的坐标，从而可求出和的坐标，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等比数列的前项和公式以及通项公式的计算，关键是求出的值，属于基础题．
根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为，分析可得数列是以为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为，
则数列是以为公比的等比数列且，
解可得，
塔的最中间一层有盏灯，则，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：等比数列的公比，
所以
，
则，
所以．
故答案为：．
根据等比数列的前项和公式求解，再根据极限运算即可得的值．
本题主要考查数列的极限，等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：取的中点，连接，，则，，
且由知，
所以或它的补角为与所成的角，
或它的补角为与所成的角，
因为与所成角为，所以或，
由知为等腰三角形，
当时，，
当时，，
故EF与所成角的大小为或．
故答案为：或．
取的中点，连接，，则，，或它的补角为与所成的角，求解即可．
本题考查异面直线所成的角，注意分类讨论的应用，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为平面内三个不共线的向量，满足，
又，，在同一直线上，
所以，即，
因为，
所以数列为：，，，，，，，，，，，，，，
则数列是以为周期的周期数列，
前项为，，，，，，
又因为，
所以．
故答案为：．
利用三点共线结合向量的关系得到，通过列举归纳，发现数列是以为周期的周期数列，利用周期性求和即可．
本题主要考查数列与向量的综合，考查数列的周期性，数列的前项和，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为点，，，
所以，
则，
所以，
则；
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，即，
又，
所以点到平面的距离．
【解析】分别求得，再利用空间向量的夹角公式求解；
先求得平面的一个法向量，再由求解．
本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：在三棱锥中，因为底面，所以，
又为边中点，所以为等腰三角形，
又所以是边长为的为等边三角形，，三棱锥体积，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为，
所以与面所成角大小为．
【解析】直接利用体积公式求解；
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解．
本题主要考查棱锥体积的求法，直线与平面所成角的求法，空间向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，为等比数列，且，，
，则；
若为等差数列，且，，
，则，
由，得，解得．
故存在正整数，使得．
【解析】把代入，由等比数列的通项公式求公比，进一步求解的值；
由已知结合等差数列的通项公式求公差，进一步求解首项，再由等差数列的前项和公式列式求解．
本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】在长方体中中，过点作，交于，连，如图所示：
因平面，
则平面，而平面，则，
因，，且，平面，
则有平面，又平面，
于是得．
点是的中点时，
因，，
则是中点，，
显然底面是正方形，则有，
在直角三角形中，
，
所以线段的长度是；
当时，，
，
由知，，
则，，
，
在直角三角形中，
，
因为，
即，
所以，，
由知，是直线与平面所成的角，
由知，，
当且仅当时，取最小值，
此时，
，
，
所以当最小时，直线与平面所成角的大小为．
【解析】过点作交于，连，证明，为中点，求出，长即可得解；
利用中信息，用表示出，长即可得解；
探求出直线与平面所成角，求出中函数最小值即可计算作答．
本题考查线面角及空间中点、线、面间的距离，属于难题．
21.【答案】解：数列，，，，，为差分增数列是，，，，，
由题意得：，所以，
由题意，，，
因为数为差分增数列，所以对任意的正整数，都有，
故都有，，同理，，
，
所以时，
所以，解得，
所以．
用反证法证明：假设．
由题意知且，
因为数列是差分增数列，
所以，
所以，因此，
所以对任意的，，都有，即．
所以．
所以，与矛盾，
故假设不成立，所以．
【解析】利用差分增数列的定义可得关于的不等式组，即可求解；
根据，，，可得，，，，，，从而可得，即可求解；
利用反证法推出矛盾，即可得证．
本题主要考查新定义，数列的应用，对数的运算，考查运算求解能力，属于难题．
第4页，共8页
第3页，共8页