2022-2023学年上海市静安区新中高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年上海市静安区新中高级中学高三（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
若向量、、满足，且，则、、中最大的是( )
A. B. C. D. 不能确定
已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是( )
A. 为偶函数且关于点对称
B. 为偶函数且关于直线对称
C. 为奇函数且关于点对称
D. 为奇函数且关于直线对称
已知平面上的线段及点，任取上的一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作，
若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54分）
直线的倾斜角为______．
若，，用列举法表示______．
复数为虚数单位，则 ．
设点从点出发，沿着圆心在原点的单位圆顺时针方向运动：弧长到达点，则劣弧的长为______．
已知，则______．
已知且，则向量在向量上的投影向量为______．
已知集合，若，且，则实数的取值范围为______．
若在上为严格减函数，则的最大取值为______ ．
已知，，且，则的最小值为______．
定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ．
若对任意存在实数，使得成立，则实数的最小值是______ ．
已知，若存在、，使得与夹角为，且，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
设，，，是四个正数．
已知，求证：；
已知，求证：，，，中至少有一个小于．
本小题分
已知中的周长为，且
求边的长；
若面积为，求角度数．
本小题分
如果有一张长、宽的环保板材，先在它的四个角上截去边长为的四个小正方形，做一只无盖长方体容器允许剪切与焊接，焊接处理厚度与损耗不计．
写出容积关于的函数，并写出该函数的定义域；
当为何值时，函数有最大值，并求出此最大值．
本小题分
在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点．

设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
设点满足：存在圆上两点和，使得，求实数的取值范围．
本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在个不同的实数、、、，使得其中、、、，，则称为的“重覆盖函数”，如，是，的“重覆盖函数”．
试判断，是否为，的“重覆盖函数”，并说明理由；
若为，的“重覆盖函数”，求实数的取值范围；
若，为，的“重覆盖函数”，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了必要条件、充分条件的判断，以及特值法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
对与进行赋值，然后说明不能推出，以及不能推出，从而可得结论．
【解答】
解：当，，故不能推出；
当，，满足，但，故不能推出；
“”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：，
，，，
，，，
又，
，
，
，，，
，
、、中最大的是，
故选：．
根据向量数量积的定义与性质即可求解．
本题考查向量数量积的定义与性质，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次判断选项：
对于，，为偶函数，且关于点对称，存在最大值，A错误，
对于，，为偶函数且关于直线对称，存在最大值，B错误，
对于，假设有最大值，设其最大值为，其最高点的坐标为，
为奇函数，其图象关于原点对称，则的图象存在最低点，
又由的图象关于点对称，则关于点对称的点为，
与最大值为相矛盾，则此时无最大值，C正确，
对于，，为奇函数且关于直线对称，D错误，
故选：．
根据题意，依次判断选项：对于，举出反例可得三个选项错误，对于，利用反证法可得其正确．
本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图，是边长为的正三角形，由题意，点集所表示的图形面积：
，
由，，得，，
，易知，
，又，
，
故选：．
根据题意分析出点集所表示的图形，由三个扇形，六个矩形，六个三角形组成，不难求面积．
本题主要考查了信息迁移问题，利用新定义找到点集，再分解为各种规则图形求面积，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
设倾斜角为，
，
，
故答案为：．
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题，，，
，
故答案为
由题意，，，依次计算出中元素，按题目要求用列举法写出即可
本题考点是集合的表示法，考查了集合的表示方法--列举法，解题的关键是理解集合的元素属性，计算出中的所有元素
7.【答案】
【解析】
【分析】
由已知直接利用及商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
【解答】
解：，
．
故答案为：．

8.【答案】
【解析】解：由题意可得．
故答案为：．
根据题意直接可得答案．
本题主要考查弧长公式和角的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故答案为：．
根据同角三角函数的商数关系将弦化切，再代入求值即可．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，且，
向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：集合，，，且，
则，即，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
根据已知条件，结合集合交集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查集合交集、并集的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，
得，．
取，可得函数的一个减区间为，
在上为严格减函数，
，得．
的最大取值为．
故答案为：．
由复合函数的单调性求出函数的减区间，再由函数在上为严格减函数，可得关于的不等式，求解得答案．
本题考查余弦函数的单调性，熟记余弦函数的减区间是关键，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，，且，
得，
当且仅当，又，
即，，或，时，上式取得等号．
的最小值为．
故答案为：．
把要求最小值的式子变形，再由基本不等式可得所求最小值．
本题考查基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
化简，从而作函数与的图象，利用数形结合求解．
本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．
【解答】
解：由题意得，
，
作函数与的图象如下，
，
若函数恰有两个零点，结合图象可知，，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：对任意存在实数，使得成立，
即为，即成立，
由，当且仅当时，取得等号，
则，即对恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
则，即，
则的最小值为．
故答案为：．
由题意可得成立，由绝对值不等式的性质和二次函数的性质可得对恒成立，运用参数分离和基本不等式，可得所求最小值．
本题考查不等式恒成立问题和存在性问题解法，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，，
令，
，
故有，，，共线，
为定值，
在中，由余弦定理可得，
，
当且仅当时，取最大值，此时面积最大，
则到距离最远，
即当且仅当、关于轴对称时，最小，
此时到的距离为，
，即．
故答案为：．
由题意画出图形，令，，可 得，，，共线，进一步说明当、关于轴对称时，最小，求出到的距离，进一步求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查共线向量基本定理的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】证明：，为正数，，，
当且仅当时取等号，．
假设，，，都不小于，则，
那么与已知条件矛盾，假设不成立，原命题成立．
【解析】根据，为正数，，由，利用基本不等式即可证明成立；
假设，，，都不小于，然后根据，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．
本题考查了利用综合法和反正法证明不等式，基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．
18.【答案】解：
由正弦定理，得
又的周长，
，解之得，即的长为；
面积为，
，可得
由的结论，得
由余弦定理，得
结合为三角形的内角，可得．
【解析】利用正弦定理化简已知等式，得，与三角形的周长为联解可得，即的长为；
根据三角形的面积公式算出，结合的结论，算出再利用余弦定理的式子解出的值，即可得到角度数．
本题给出三角形的周长和角的关系式，求边的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
19.【答案】解：盒子的长为 ，宽为 ，高为，
所以，盒子容积，由，得，所以定义域为．
，，
，
在上，，单调递增；在上，，单调递减，
所以，当时，取到最大值．所以，当小正方形的边长为 时，盒子容积最大．
【解析】结合图形，用表示出长方体的长、宽、高，然后由体积公式可得函数，再由长、宽、高都大于可得定义域；
求导，利用导数讨论函数单调性，然后可得最值．
本题主要考查函数模型及其应用，导数求函数的最值等知识，属于中等题．
20.【答案】解：在直线上，
设，
圆与轴相切，
圆为：，
又圆与圆外切，圆：，
即圆：，
，解得，
圆的标准方程为．
由题意得，，
设：，
则圆心到直线的距离：，
则，，
即，
解得或，
直线的方程为：或．
设，，
，，，
点在圆上，
，
将代入，得，
点在圆上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
．
解得，
实数的取值范围是
【解析】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于拔高题．
设，则圆为：，从而得到，由此能求出圆的标准方程；
由题意得，，设：，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程；
，则，点，在圆上，得圆与圆有公共点，解得
21.【答案】解：当时，，
而只有唯一解，不是的“重覆盖函数”；
因函数，的值域为，
故对于任意的，方程在内都恰好有个不同的根，
当时，，不合题意；
当时，，
方程需在在内有个不同根，内有个根，
，
解得；
当时，在上单调递增，故方程需在内有个不同根，在内有个根，
当时，，且，
，
解得，
综上，实数的取值范围是；
函数的值域为，
对于任意的，方程在内有个不同的根，
即与直线在轴右侧有个不同的交点，
由图可知，，即，
由，
解得，
故的最大值为．
【解析】根据“重覆盖函数”的定义即可判断；将问题转化为对于任意的，方程恰好有个不同的根，然后分，，三种情况分别求解即可；将问题转化成对于任意的，方程在内有个不同的根，利用数形结合的思想即可求解．
根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键．
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