2022-2023学年福建省福州市三校高三（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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)
2022-2023学年福建省福州市三校高三（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共43分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
在数列中，，且，则( )
A. B. C. D.
已知在矩形中，，线段，交于点，则( )
A. B. C. D.
已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
函数，则的图象在内的零点之和为( )
A. B. C. D.
如果平面向量，，那么下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共9分。在每小题有多项符合题目要求）
在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
已知函数，恒成立，且的最小正周期为，则( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称
D. 在上单调递增
已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
求值______．
已知向量与的夹角为，且，则______．
写出一个满足函数在上单调递增的值______．
已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在中，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ在下面三个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件；
条件；
条件．
本小题分
已知数列前项和为，满足，且．
求数列通项公式；
求．
本小题分
已知函数，其中，，．
求函数的单调递减区间；
在中，角、、所对的边分别为、、，，且向量与共线，求边长和的值．
本小题分
已知公差不为的等差数列中，，是和的等比中项．
求数列的通项公式：
保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值．
本小题分
已知集合，函数．
求关于的不等式的解集；
若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
本小题分
设函数，其中，．
若为偶函数，求的值；
若对于每个，存在零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故选：．
先化简，再运算即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
故选：．
根据等比数列的定义及通项公式即可求解．
本题考查等比数列的定义及通项公式的应用，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，线段，交于点，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
又，则，
可得．
故选：．
由已知直接利用正弦定理求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
所以，
因为，
故．
故选：．
由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知，
，
故选：．
由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．．
7.【答案】
【解析】
【分析】
根据，可得，从而得到，然后利用基本不等式，求出最小值即可．
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于基础题．
【解答】
解：因为，，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为．
故选：．
由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由平面向量，，知：
在中，，，，故A错误；
在中，，故B错误；
在中，，，，故C正确；
在中，，与不平行，故D错误．
故选：．
在中，，；在中，；在中，，从而；在中，，从而与不平行．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
10.【答案】
【解析】解：对于：由，，
解得，，，或者，，，不符合题意，舍去，故A正确，
对于：由，则，常数，
数列不是等比数列，故B不正确；
对于：，故C正确；
对于：，，，
数列不是公差为的等差数列，故D错误，
故选：．
由，，且公比为整数，从而可解得与的值即可判断选项A；计算出的表达式并求出即可判断选项B；利用等比数列求和公式计算出即可判断选项C；计算出的表达式并求出即可判断选项D．
本题主要考查等比数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：的最小正周期为，由恒成立得，
，且，，
即，则A正确；
对于：令，即，当时，对称中心为，则B正确；
对于：将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象不关于轴对称，则C错误；
对于：由得函数的单调递增区间为，当时单调递增区间为，其包含，则D正确．
故选：．
由的最小正周期为得，由恒成立可得再结合，可得值，得解析式可判断；求得函数的对称中心，可判断；将的图象向左平移个单位长度后得到的函数，可判断；根据的范围可求得的范围可判断．
本题考查三角函数图像性质，考查数学运算能力及直观想象能力，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，
则，当且仅当，即时取等号，
此时，
所以，C错误，D正确．
故选：．
由已知先表示，代入到中，分离后结合基本不等式可检验，，然后结合二次函数的性质可检验选项C，即可判断．
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
由题意利用辅助角公式，计算求得结果．
本题主要考查辅助角公式的应用，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
代入数据可得，
化简可得，
解得，或负数舍去，
故答案为：．
把已知式子平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得．
本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为，
当时，在定义域上单调递增，
当时，，
画出，的图象如下所示：
要使函数在上单调递增，
由图可知当时均可满足函数在上单调递增；
故答案为：答案不唯一
分段讨论函数的单调性，画出，的图象，结合函数图象即可得到参数的取值范围，即可得解．
本题主要考查分段函数的单调性，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，
，，
，
，，
，
令得，，
的最小值为，
当时，
，不符合题意，
综上所述，的最小值为，
故答案为：．
对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法得到的最小值．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ在中，．，
利用余弦定理：，
整理得：，
故：，解得．
Ⅱ选条件时，由于，由于，
利用正弦定理：，整理得；
由于，
故，
整理得；
故：或，
由于，
所以：，
故A，
所以，解得．
．
故．
选条件时，；由于，
整理得：；
整理得：，
由，
故B．
，
由，，
解得．
故：．
所以，解得．
．
故．
选条件时，由于．
由于，
整理得：；
所以，
整理得：，
由，
故C，
所以，
故：．
所以，解得．
．
故．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
Ⅰ直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果；
Ⅱ选时，利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出三角形为直角三角形，进一步求出三角形的面积；
选时，直接利用三角函数的关系式的变换求出三角形为直角三角形，进一步利用面积公式的应用求出三角形的面积；
选时，直接利用三角函数的关系式的变换求出三角形为直角三角形，进一步利用面积公式的应用求出三角形的面积．
18.【答案】解：因为，
当时，，所以，其中，
所以，则，
当时，得，
则得：，
即，即，
又故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
．
【解析】利用与的关系求数列的递推关系式，得数列为等比数列，则通项公式可求；
直接利用等比数列求和公式求解即可．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.【答案】解：由已知得到
，
所以令，解得，，
函数的单调递减区间，；
，得到，
所以，
又且向量与共线，
得到，由正弦定理得到，
由解得，．
【解析】本题考查了平面向量的数量积公式以及三角函数式的化简以及三角函数的性质的运用，属于中档题．
利用数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角函数公式化简为一个角一个函数名称的形式，然后利用余弦函数的单调性得到所求；
首先利用的结论求出，然后利用余弦定理得到关于，的一个等式，再利用向量共线得到，的另一个等式，解方程组即可．
20.【答案】解：设等差数列的公差为，
由是和的等比中项，得，即，
解得．
；
保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，
则新数列的前项为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
则
．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和，以及分组法求和，是较易题．
设等差数列的公差为，由题意列关于的方程，求解，再由等差数列的通项公式求解；
由题意得新数列的前项，分组后由等差数列与等比数列的前项和公式求解．
21.【答案】解：因为，且，
所以即，
因为的实数根为或，
当时，此时，所以不等式的解集为；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；
因为，
所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，
所以可整理成任意，恒成立，
令，则，
因为，当且仅当即时，取等号，
所以，
故实数的取值范围．
【解析】分类讨论，即可解关于的不等式；
命题“存在，使得”的否定为：“对任意的，均有成立”为真命题，再分离参数求最值，即可求出的取值范围．
本题主要考查了含参的一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，函数，
若为偶函数，必有，变形可得：，
又由，则，
故有，即．
又，则；
根据题意，若对于每个，存在零点，
则，
当时，，解可得，
又，则，
当时，或，
当时，又由，则只能取，不符合题意，舍去，
当时，又由，
从开始讨论：令，由于单调递减，故只需，
此时的取值范围为；
综上所述，的取值范围是；
【解析】由偶函数的定义可得，变形可得：，结合的范围分析的取值范围，又由，即可得答案；
根据题意，由二次函数的性质可得，分和两种情况讨论，求出的取值范围，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及二次函数的性质，属于中档题．
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