第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学八年级上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
考试范围：第十五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形忽略拼接线小亮改变的位置，将分别摆放在图中左，下，右的位置摆放时无缝隙不重叠，还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )
A. B. C. D.
将一张长方形纸片如图进行折叠操作．第一次折叠后如图，使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；第二次折叠后如图，使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；按此操作，若将纸片沿着剪开，此时小于，则的最小值是( )
A. B. C. D.
将面积为的按图所示方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若的面积为，则与的长度比为( )
A. B. C. D.
如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接若，则的值为( )
A. B.
C. D.
三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的( )
A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
如图，已知，，的垂直平分线交于，于，以下结论：是等腰三角形；射线是的角平分线；的周长；≌正确的有( )
A. B. C. D.
下列命题：等腰三角形的角平分线、中线和高重合；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形的最短边是底边；等边三角形的高、中线、角平分线都相等；等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在、中，，，，是的中线，，，三点在一条直线上，连接，，以下五个结论：：；；；中，正确的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，为边的中点，线段的垂直平分线交边于点设，，则( )
A. B.
C. D.
如图，在和中，，，，连接，交于点，连接下列结论：
，，平分，平分其中正确的结论个数有个．( )
A. B. C. D.
如图，等边和等边，其中、、三点共线，连接、、、，下列说法中：平分；；；正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；若，，则其中正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，，，将边沿折叠，使点落在上的点处，再将边沿折叠，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______．
如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是____________．
如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为____________．
如图，点，到直线的距离为，，垂足分别为，，为的中点，作的垂直平分线交直线于点，连接，，，，现给出下列结论：
；
≌；
平分；
若，，则．
其中正确的是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
实践操作：
第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
问题解决：
如图，填空：四边形的形状是______；
如图，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
如图，若，，求：的值．
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
求和的值；
直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．
若的面积为，求的值；
是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与轴交于点，且．
求这两个函数的解析式．
求两函数与轴围成的三角形的面积；
在直线上找一点，使得的周长最小，试求点的坐标．
如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点已知，．
求证：；
求的长．
等边中，是上任一点，是外一点，，，连接．
当点是线段的中点时，如图，判断线段与的数量关系，并说明理由；
当点是线段上任意一点时，如图，找出三条线段，，存在的数量关系，并说明理由；
当点在的延长线上时，如图，若边长为，设，则线段__________________用含的代数式表示．
如图，点在线段上，，与相交于点，．
求证：；
若，求的度数．
已知，如图，，，与相交于点．
求证：是等腰三角形．
如图，是内的一点，，，垂足分别为，，．
求证：；
点在的角平分线上．
观察、猜想、探究：
在中，．
如图，当，为的角平分线时，求证：；
如图，当，为的角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
如图，当为的外角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为个．
故选：．
能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，长方形，由此即可判断．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图形折叠的规律问题，由题意找出规律，列出不等式解出即可．
【解答】
解：由题意得：第一次折叠后，
第一次折叠后，
第次折叠后，
所以，
则的最小值为，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个三角形是全等三角形，它们的面积相等．由题意分别计算出与的面积，从而：：，问题可解．
【解答】
解：由题意可得：
由折叠性质可知，，
：：：：．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查作图复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型设交于利用面积法求出的长，再利用相似三角形的性质求出、即可解决问题．
【解答】
解：如图，设交于．
，
由作图可知，垂直平分线段，
，，
，
，
在中，，
，
，
由∽，可得，
，
，，
，
．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】
解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
由，知，是的中垂线知，，所以正确．
三角形的角平分线是线段，错误．
由知，，的周长，正确．
由知，而为锐角三角形，所以不正确．
【解答】
解：由，知，
是的中垂线，
，
，
，
正确，
又，
，
线段是的角平分线而不是射线，
错误，
由，知，
的周长，
正确，
，而为锐角三角形，
错误，
正确的为．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形和等边三角形的性质分析根据性质一一判定即可．
【解答】
解：等腰三角形的角平分线、中线和高重合；是错误的．
等腰三角形两腰上的高相等；是正确的．
等腰三角形的最短边是底边；是错误的。
等边三角形的高、中线、角平分线都相等；是正确．
等腰三角形都是锐角三角形是错误的．
故正确的有个．
故选B
8.【答案】
【解析】解：，
，
即．
在和中，
≌，
故正确；
≌，
．
，
，
，
．
；故正确；
，，
，
．
，故正确，
延长到，使得，连接，．
则≌．
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，故正确，
延长交于．
≌，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
由条件证明≌，就可以得到结论；
由≌就可以得出，就可以得出而得出结论；
由条件知，由，就可以得出结论．
延长到，使得，连接想办法证明≌，即可解决问题；
延长交于只要证明即可；
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．
9.【答案】
【解析】解：
过作于，过作于，连接，
的垂直平分线交于，，
，
，，，
，，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
故选：．
过作于，过作于，连接，根据线段垂直平分线求出，根据等腰三角形求出，求出，解直角三角形求出，，在中，根据勾股定理求出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由证明≌得出，，正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，，正确；
作于，于，如图所示：则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；
假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
≌，
，，故正确；
，
由三角形的外角性质得：
，
得出，，故正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
假设平分，则，
在与中，
≌，
，
，
，
而，故错误；
正确的个数有个；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：作于，于．
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
于，于．
，
，
≌，
，
平分，故正确；
，，，
≌，
，故正确
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确，
故选：．
作于，于由≌，≌，角平分线的判定定理以及即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，正确．
故选：．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定；在上取一点，使，证得≌，得到，再证得≌，得到，进而判定正确；作于，于，根据三角形的面积可证得正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得≌，得到，是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由两次翻折知：
，，，，
，
，
，
，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
由翻折知：，由角的关系推导出，再通过，则，求得的长．
本题主要考查了翻折的性质、三角函数等知识，推导出是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义．根据两条直线平行，内错角相等，则，根据平角定义，则图，进一步求得图，进而求得图．
【解答】
解：，，
，
图，
图，
图．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，，得到，得到答案．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【解答】
解：连接、，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，同理，，
是等边三角形，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线上的点，
，
；故正确；
在和中
，
≌；故正确；
如图，连接，
为的中点，，
，
不平分；故错误；
，，
，
，
，
，
故错误．
综上所述：正确的是．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可得，进而可以解决问题；
结合利用即可证明≌；
连接，根据，即可得不平分；
根据勾股定理可得，结合可得，即可可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
17.【答案】正方形
【解析】解：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形；
．
证明：如图，连接，由知，，
四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
≌，
，
；
≌，
，
由折叠知，，
，
，，
，
设，则，
，
，
解得，，
即，
如图，延长、交于点，则，
，
，
，
，
∽，
．
由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；
连接，证明≌，得，便可得结论；
设，则，由勾股定理求出的值，延长、交于点，求得，再证明∽，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，第题关键在于证明三角形全等，第题关键证明相似三角形．
18.【答案】解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
，；
由题意得：，
中，当时，，，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为，
，，
则的值秒；
设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
当时，则点在点的正下方，故，
解得：；
当时，
同理可得：
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【解析】把点代入直线中得：，则点，直线过点，，；
由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；
分、、三种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
19.【答案】解：点坐标为，
，
，
点坐标为，
把代入，求得，
；
把，代入，求得，，
．
．
因为周长为，
所以求周长最小，也就是求的最小值．
作出点对于直线的对称点，连接，交直线于点，如右图：
此时周长最小．
设直线的解析式为，
因为经过，，
所以代入求得，，
所以．
当时，，
所以点坐标为
【解析】利用给出的点的坐标，可代入求得正比例函数的解析式，利用，可求点坐标，从而利用代定系数法求得一次函数解析式；
利用坐标，即可知三角形的底与高，直接求面积即可；
利用将军饮马问题来解决．
本题考查的是一次函数的应用，
20.【答案】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
是的中点已知，
中点的定义．
在与中，
，
≌，
；
≌，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，，．
．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质．
根据可知，再根据是的中点可求出≌，根据全等三角形的性质即可解答．
根据线段垂直平分线的性质判断出即可．
21.【答案】解：，
如图，连接，
，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，
，
垂直平分，
，
；
，
理由：如图，连接，
由得是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
≌，
，
，
，
；
．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，连接构造全等三角形是解题的关键．
如图，连接，，，推出是等边三角形，由是等边三角形，根据等边三角形的性质得到证得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质的即可得到结论；
如图，连接，由得是等边三角形，得到，，根据等边三角形的性质得到，，证得，推出≌，由全等三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；
如图，连接，方法同，可得答案为．
【解答】
见答案；
如图，连接，
由得是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在于中，
≌，
，
，
．
故答案为．
22.【答案】解；：点在上，，
，
，
，
，
又，，
≌，
；
如图，连接，
由可得，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
．
【解析】根据，，，即可得到≌，进而得到；
连接，判定是等边三角形，即可得到，，进而得到，再根据进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形．
【解析】先用证≌，得到，利用等角对等边知，从而证得是等腰三角形．
本题考查了三角形全等判定及性质和等腰三角形的性质；三角形的全等的证明是正确解答本题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接并延长，
，
又，，
在和中
，
≌，
．
≌，
，
是的角平分线，
故点在的角平分线上．
【解析】连接，根据证明≌，可得到；
利用中的全等，可得出，那么点在的平分线上．
本题考查了三角形全等的判定和性质，以及角平分线的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25.【答案】
解：过作，交于点，如图所示，
为的平分线，，，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
又，
，
，
则；
，理由为：
在上截取，如图所示，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
又，
，
，
则；
，理由为：
在上截取，如图所示，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
，
，
又，
，
，
则．
【解析】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
过作，交于点，理由角平分线性质得到，利用得到直角三角形与直角三角形全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到，，由，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到，由，等量代换即可得证；
，理由为：在上截取，如图所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由，利用得到三角形与三角形全等，接下来同即可得证；
，理由为：在上截取，如图所示，同即可得证．
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