山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·滕州期中）过点和点的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：过点和点的斜率
故答案为：A
【分析】利用斜率的计算公式可得答案.
2．（2022高二上·定远月考）若，，则（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为
所以
故答案为：A
【分析】先求出，再利用向量的模长计算公式即可.
3．（2022高二上·滕州期中）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有C满足包括与轴平行的直线.
故答案为：C
【分析】利用两点式可求出答案.
4．（2022高二上·滕州期中）圆的圆心为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由，得，
所以圆心为，
故答案为：A
【分析】把圆的一般式方程化为标准式方程，可得圆心坐标.
5．（2022高二上·滕州期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故答案为：C．
【分析】 先设，然后把向量AB、 AC、 AD分别用向量PA、PB、 PC、PD表示，再把向量PA用向量PB、 PC、 PD表示出，对照已知的系数相等即可求解出实数的值 .
6．（2019高二上·淄博月考）“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 由题意，方程 表示一个椭圆，则 ，解得 且 ，
所以“ ”是“方程 ”的必要不充分条件，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“方程 ”的必要不充分条件。
7．（2022高二上·滕州期中）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，过定点，
由得，过定点，
故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，
则线段OP的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意知直线与直线过分别定点A、B且互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，结合图形求得OP长度的最大值.
8．（2020高二上·舟山期末）如图，棱长为2正方体 ， 为底面 的中心，点 在侧面 内运动且 ，则点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ,则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面
因为点 在侧面 内，所以 平面 平面 ；
在平面 内作 关于直线 对称的点 ，连接 ，
则 ，
所以 ， ，作 ，
则
当 、 、 三点共线时， 取最小值，
此时因为 ， ，
所以 ， ，
中， ，
即 ，得 ，故 ，
即点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是 .
故答案为：A.
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值。
二、多选题
9．（2022高二上·滕州期中）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．，，一定能构成空间的一个基底
D．一定存在实数，，使得
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】A，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若，则，该选项正确；
B，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两共面，但，，不共面，该选项正确；
C，假设，，共面，
则，此时，无解，
所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；
D，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】 根据已知条件，结合向量共面的定理，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二上·滕州期中）直线的方程为：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为
D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的截距式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于A，由直线方程知：恒过定点，故正确；
对于B，当时，直线斜率不存在，故错误；
对于C，时有，设倾斜角为，即，则倾斜角为，故错误；
对于D，时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故正确；
故答案为：BC.
【分析】利用直线系方程判断A；判断直线的斜率判断B；求解直线的倾斜角判断C；求解三角形的面积判断D.
11．（2022高二上·辽宁期中）已知直线和圆，则下列说法正确的是（）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
【答案】B,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】对于A，因为直线 过定点 ，且 ，即定点 在圆 内，所以不存在 ，使得直线 与圆 相切，A不正确；
对于B，因为圆心 到直线 的距离的最大值为 ，
所以 的最小值为 ，B符合题意；
对于C，因为圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
所以对任意 ，圆 上恒有4个点到直线的距离为 ，C符合题意；
对于D，当 时，直线 ，曲线 ，即 就是过直线 与圆 的交点的曲线方程，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式和弦长公式以及几何法得出 的最小值，再结合点到直线的距离公式和几何法得出对任意 ，圆 上恒有4个点到直线的距离为 ，再利用当 时得出直线 ，再结合曲线 ，即 就是过直线 与圆 的交点的曲线方程，从而找出说法正确的选项。
12．（2022高二上·滕州期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
D．过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，
则平面，A符合题意；
设中点为，则，且，B符合题意；
，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，
又平面与其长轴垂直，截面为圆，C不符合题意；
设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，
，，，，
，而，故，同理，
而，平面，而平面，则，
平面，平面，，
，，平面，
平面，而平面，则，
，同理，，
又，，则，
而，
交线长为，D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】 将该四棱锥补成正方体后可判断A、B；结合椭圆的定义可判断C；结合空间中垂直关系的转化可判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·滕州期中）化简算式： ．
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】利用向量加、减法的三角形法则进行化简，可得答案.
14．（2022高二上·滕州期中）椭圆的长轴的长为 .
【答案】10
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵，∴，
所以长轴的长为10.
故答案为：10.
【分析】利用椭圆的性质可得长轴长.
15．（2021高二上·河北月考）由曲线围成的图形的面积为 ．
【答案】8+4π
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】当时，曲线 表示的图形为
以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为
，根据对称性，可知由曲线
围成的图形的面积为。
【分析】当时，曲线 表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，再利用圆的面积公式和三角形的面积公式，再结合求和法得出其面积，再根据对称性，从而结合求和法，进而求出曲线围成的图形的面积。
16．（2020高二上·丽水期末）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，点 在圆 上，点 在椭圆上，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三点共线；椭圆的定义
【解析】【解答】解：椭圆 的 ，
右焦点为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，
点 在圆 上，可设 ，
，
表示点 与 的距离，
由椭圆的定义可得 ，
，
当且仅当 三点共线上式取得等号，
故 的最小值是 ，
故答案为： .
【分析】求得椭圆的 ，可得焦点坐标和顶点坐标，可 ，由两点的距离公式可得 ，即点 与 的距离，再由椭圆的定义，可得
，再由四点共线取得最值，可得所求.
四、解答题
17．（2022高二上·滕州期中）已知，；
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求的坐标．
【答案】（1）解：由已知得，，得
，解得
（2）解：设，由，可得
，得到，求得，
，则或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据空间向量的数量积列方程求出k的值；
(2)根据向量的共线定理和模长公式进行计算，即可求出 的坐标．
18．（2022高二上·滕州期中）一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．
（1）与直线垂直；
（2）交轴、轴的正半轴于A，两点，且使取得最小值的直线方程．
【答案】（1）解：设与直线垂直的直线方程为，
将带入可得，
∴ 与直线垂直的直线方程为
（2）解：设直线方程为，．
时，．
时，．
，
当时取等号，
所以使取得最小值的直线方程为
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1） 设与直线垂直的直线方程为，将代入方程求出m的值，可得与直线垂直的直线方程；
（2）设直线方程为， ，求出 ，再利用基本不等式可求出使取得最小值的直线方程.
19．（2022高二上·滕州期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
（1）求证：共面；
（2）当为何值时，.
【答案】（1）证明：在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面；
（2）解：当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
，
，
若，则，即
，
即，
解得或舍去，
即时，.
【知识点】共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出 ， 即可证得 共面；
（2）利用空间向量的线性运算和垂直求出 ， 即可求出 时，.
20．（2019高二上·内蒙古月考）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
【答案】（1）解：设圆 的方程为： ，
根据题意得 ，
故所求圆M的方程为：
（2）解：如图
四边形 的面积为
即
又 ，所以 ，
而 ，即 .
因此要求 的最小值，只需求 的最小值即可，
的最小值即为点 到直线 的距离
所以 ，
四边形 面积的最小值为
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）假设圆的标准方程，并使用圆的定义，列出式子，简单计算，可得结果.（2）采用数形结合，根据（1）的结论，可得四边形 的面积 ，利用勾股定理，可得 ，然后使用点到直线距离，可得结果.
21．（2022高二上·滕州期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面.
（1）在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：存在点，且时平面，理由如下：
连接相交于点，连接，则平面平面，
若平面，平面，平面，所以，
因为，，所以， ，
所以时平面；
（2）解：因为，，，
由余弦定理可得，
由可得， ，又平面，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用线面平行的性质推理，再利用平行线分线段成比例定理即可证得 时平面；
(2)利用余弦定理结合勾股定理可得 ， ， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值 .
22．（2022高二上·滕州期中）已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左 右焦点分别为F1，F2，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.
【答案】（1）解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，所以椭圆的方程为
（2）解：设直线的方程为，直线的方程为，
由题知，所以，
所以，同理，，
所以是方程的两根，所以.
设，设直线的方程为，
将代入，得，
所以，①
②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时过点，舍去.
若，则直线，此时恒过点，
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用 ，结合三角形的面积公式，求出a，b，即可求出椭圆C的方程；
(2) 设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知 ，可得 是方程的两根，利用韦达定理可得 ， 设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得m与k的关系式，即可证明直线AB过定点.
1 / 1山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·滕州期中）过点和点的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·定远月考）若，，则（ ）
A． B． C．5 D．10
3．（2022高二上·滕州期中）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022高二上·滕州期中）圆的圆心为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022高二上·滕州期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高二上·淄博月考）“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高二上·滕州期中）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·舟山期末）如图，棱长为2正方体 ， 为底面 的中心，点 在侧面 内运动且 ，则点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·滕州期中）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．，，一定能构成空间的一个基底
D．一定存在实数，，使得
10．（2022高二上·滕州期中）直线的方程为：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为
D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
11．（2022高二上·辽宁期中）已知直线和圆，则下列说法正确的是（）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
12．（2022高二上·滕州期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
D．过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为
三、填空题
13．（2022高二上·滕州期中）化简算式： ．
14．（2022高二上·滕州期中）椭圆的长轴的长为 .
15．（2021高二上·河北月考）由曲线围成的图形的面积为 ．
16．（2020高二上·丽水期末）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，点 在圆 上，点 在椭圆上，则 的最小值是 ．
四、解答题
17．（2022高二上·滕州期中）已知，；
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求的坐标．
18．（2022高二上·滕州期中）一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．
（1）与直线垂直；
（2）交轴、轴的正半轴于A，两点，且使取得最小值的直线方程．
19．（2022高二上·滕州期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
（1）求证：共面；
（2）当为何值时，.
20．（2019高二上·内蒙古月考）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
21．（2022高二上·滕州期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面.
（1）在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（2022高二上·滕州期中）已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左 右焦点分别为F1，F2，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：过点和点的斜率
故答案为：A
【分析】利用斜率的计算公式可得答案.
2．【答案】A
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为
所以
故答案为：A
【分析】先求出，再利用向量的模长计算公式即可.
3．【答案】C
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有C满足包括与轴平行的直线.
故答案为：C
【分析】利用两点式可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由，得，
所以圆心为，
故答案为：A
【分析】把圆的一般式方程化为标准式方程，可得圆心坐标.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故答案为：C．
【分析】 先设，然后把向量AB、 AC、 AD分别用向量PA、PB、 PC、PD表示，再把向量PA用向量PB、 PC、 PD表示出，对照已知的系数相等即可求解出实数的值 .
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 由题意，方程 表示一个椭圆，则 ，解得 且 ，
所以“ ”是“方程 ”的必要不充分条件，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“方程 ”的必要不充分条件。
7．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，过定点，
由得，过定点，
故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，
则线段OP的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意知直线与直线过分别定点A、B且互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，结合图形求得OP长度的最大值.
8．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ,则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面
因为点 在侧面 内，所以 平面 平面 ；
在平面 内作 关于直线 对称的点 ，连接 ，
则 ，
所以 ， ，作 ，
则
当 、 、 三点共线时， 取最小值，
此时因为 ， ，
所以 ， ，
中， ，
即 ，得 ，故 ，
即点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是 .
故答案为：A.
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值。
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】A，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若，则，该选项正确；
B，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两共面，但，，不共面，该选项正确；
C，假设，，共面，
则，此时，无解，
所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；
D，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】 根据已知条件，结合向量共面的定理，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的截距式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于A，由直线方程知：恒过定点，故正确；
对于B，当时，直线斜率不存在，故错误；
对于C，时有，设倾斜角为，即，则倾斜角为，故错误；
对于D，时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故正确；
故答案为：BC.
【分析】利用直线系方程判断A；判断直线的斜率判断B；求解直线的倾斜角判断C；求解三角形的面积判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】对于A，因为直线 过定点 ，且 ，即定点 在圆 内，所以不存在 ，使得直线 与圆 相切，A不正确；
对于B，因为圆心 到直线 的距离的最大值为 ，
所以 的最小值为 ，B符合题意；
对于C，因为圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
所以对任意 ，圆 上恒有4个点到直线的距离为 ，C符合题意；
对于D，当 时，直线 ，曲线 ，即 就是过直线 与圆 的交点的曲线方程，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式和弦长公式以及几何法得出 的最小值，再结合点到直线的距离公式和几何法得出对任意 ，圆 上恒有4个点到直线的距离为 ，再利用当 时得出直线 ，再结合曲线 ，即 就是过直线 与圆 的交点的曲线方程，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，
则平面，A符合题意；
设中点为，则，且，B符合题意；
，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，
又平面与其长轴垂直，截面为圆，C不符合题意；
设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，
，，，，
，而，故，同理，
而，平面，而平面，则，
平面，平面，，
，，平面，
平面，而平面，则，
，同理，，
又，，则，
而，
交线长为，D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】 将该四棱锥补成正方体后可判断A、B；结合椭圆的定义可判断C；结合空间中垂直关系的转化可判断D.
13．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】利用向量加、减法的三角形法则进行化简，可得答案.
14．【答案】10
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵，∴，
所以长轴的长为10.
故答案为：10.
【分析】利用椭圆的性质可得长轴长.
15．【答案】8+4π
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】当时，曲线 表示的图形为
以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为
，根据对称性，可知由曲线
围成的图形的面积为。
【分析】当时，曲线 表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，再利用圆的面积公式和三角形的面积公式，再结合求和法得出其面积，再根据对称性，从而结合求和法，进而求出曲线围成的图形的面积。
16．【答案】
【知识点】三点共线；椭圆的定义
【解析】【解答】解：椭圆 的 ，
右焦点为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，
点 在圆 上，可设 ，
，
表示点 与 的距离，
由椭圆的定义可得 ，
，
当且仅当 三点共线上式取得等号，
故 的最小值是 ，
故答案为： .
【分析】求得椭圆的 ，可得焦点坐标和顶点坐标，可 ，由两点的距离公式可得 ，即点 与 的距离，再由椭圆的定义，可得
，再由四点共线取得最值，可得所求.
17．【答案】（1）解：由已知得，，得
，解得
（2）解：设，由，可得
，得到，求得，
，则或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据空间向量的数量积列方程求出k的值；
(2)根据向量的共线定理和模长公式进行计算，即可求出 的坐标．
18．【答案】（1）解：设与直线垂直的直线方程为，
将带入可得，
∴ 与直线垂直的直线方程为
（2）解：设直线方程为，．
时，．
时，．
，
当时取等号，
所以使取得最小值的直线方程为
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1） 设与直线垂直的直线方程为，将代入方程求出m的值，可得与直线垂直的直线方程；
（2）设直线方程为， ，求出 ，再利用基本不等式可求出使取得最小值的直线方程.
19．【答案】（1）证明：在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面；
（2）解：当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
，
，
若，则，即
，
即，
解得或舍去，
即时，.
【知识点】共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出 ， 即可证得 共面；
（2）利用空间向量的线性运算和垂直求出 ， 即可求出 时，.
20．【答案】（1）解：设圆 的方程为： ，
根据题意得 ，
故所求圆M的方程为：
（2）解：如图
四边形 的面积为
即
又 ，所以 ，
而 ，即 .
因此要求 的最小值，只需求 的最小值即可，
的最小值即为点 到直线 的距离
所以 ，
四边形 面积的最小值为
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）假设圆的标准方程，并使用圆的定义，列出式子，简单计算，可得结果.（2）采用数形结合，根据（1）的结论，可得四边形 的面积 ，利用勾股定理，可得 ，然后使用点到直线距离，可得结果.
21．【答案】（1）解：存在点，且时平面，理由如下：
连接相交于点，连接，则平面平面，
若平面，平面，平面，所以，
因为，，所以， ，
所以时平面；
（2）解：因为，，，
由余弦定理可得，
由可得， ，又平面，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用线面平行的性质推理，再利用平行线分线段成比例定理即可证得 时平面；
(2)利用余弦定理结合勾股定理可得 ， ， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值 .
22．【答案】（1）解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，所以椭圆的方程为
（2）解：设直线的方程为，直线的方程为，
由题知，所以，
所以，同理，，
所以是方程的两根，所以.
设，设直线的方程为，
将代入，得，
所以，①
②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时过点，舍去.
若，则直线，此时恒过点，
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用 ，结合三角形的面积公式，求出a，b，即可求出椭圆C的方程；
(2) 设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知 ，可得 是方程的两根，利用韦达定理可得 ， 设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得m与k的关系式，即可证明直线AB过定点.
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