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培优点7 三角函数中的范围、最值问题
【方法总结】
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．
【典例】1 (1)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】 y＝1－cos2x＋acos x＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
①若>1，即a>2，则当cos x＝1时，
ymax＝a＋a－＝1 a＝<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，
则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，
∴a＝或a＝－4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，
ymax＝a－＝1 a＝>0(舍去)．
综上可得，a＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________．
【答案】
【解析】 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，
所以C为钝角，
由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，
3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以4sin Acos C＝－cos A·sin C，
即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，
所以tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝＝＝
≤＝，
当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.
【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 f(x)＝cos x向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，再将各点横坐标变为原来的(ω>0)得g(x)＝cos，
当x∈时，ωx－∈，
又此时g(x)的值域为，
∴0≤－≤，∴≤ω≤.
(2)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
【答案】
【解析】 方法一 将f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象，该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此－2φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝－－(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小正值为.
方法二 将f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象，令2x－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋＋φ(k∈Z)，此即为g(x)的对称轴方程，
又g(x)的图象关于y轴对称，所以有＋＋φ＝0，k∈Z，于是φ＝－－(k∈Z)，故当k＝－1时，φ取最小正值.
【方法总结】
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．
【拓展训练】
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f ＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】 A
【解析】 函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
2．若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，且φ∈，由－＋2kπ≤x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，得－－φ＋2kπ≤x≤－φ＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，增区间为，所以αmax＝－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2＝sin 2φ＝＝＝.
3．已知函数f(x)＝2sin中x在任意的个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．
【答案】 [10π，＋∞)
【解析】 由题意得T＝≤，∴ω≥10π，
∵ω>0，∴ω≥10π.
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________．
【答案】
【解析】 令ωx＋＝kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴解得≤ω<4，
令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴－＋≤x≤＋，k∈Z，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴ ，
∴ 0<ω≤，
综上得ω的取值范围是≤ω≤.
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培优点7 三角函数中的范围、最值问题
【方法总结】
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．
【典例】1 (1)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________．
【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为( )
A. B. C. D.
(2)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
【方法总结】
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．
【拓展训练】
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f ＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( )
A. B. C. D.
3．已知函数f(x)＝2sin中x在任意的个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________．
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