第五单元《几何证明初步》单元测试卷（困难）（含答案)

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青岛版初中数学八年级上册第五单元《几何证明初步》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点有以下结论：；；平分；其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列命题：
同旁内角互补；
若，则；
直角都相等；
相等的角是对顶角．
其中，真命题的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连结，且平分，则以下命题不正确的是( )
A. B. 为中点
C. D.
要证明命题“若则”是假命题，下列，的值能作为反例的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛每两队赛一场，胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名四队得分互不相等，且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为( )
A. 分或分 B. 分或分 C. 分或分 D. 分或分
如图， ， ，则图中与相等的角除外共有 ( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则以上结论正确的是( )
A. B. C. D.
下面说法：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直对顶角相等两条直线被第三条直线所截，同位角相等：从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图，当时，，则其它所有可能符合条件的度数为( )
A. 和 B. 、、和
C. 和 D. 以上都有可能
如图，，平分交于点，，，、分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为( )
A. B. C. D. 不能确定
下列条件：；，，其中能确定为直角三角形的条件有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列选项中结论错误的是( )
A.
B.
C. 点到各边的距离相等
D. 设，，则
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
把“内错角相等”写成“如果那么”的形式为____．
下面是六个推断：
因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有______个，其序号是______．
如图，已知，点，分别在直线，上，点在，之间且在的左侧．若将射线沿折叠，射线沿折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则的度数为________．
如图和中，，，，点在边上，将绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当时，旋转时间_____秒．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．填写“真命题、假命题”
在中，，，，，且，若是
“奇异三角形”，则：：______．
如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点使得，．
求证：是“奇异三角形”；
当是直角三角形时，且，求线段的长．
已知如图：四边形、、于、现有四个论断：平分、、、以其中两个论断条件，另两个论断为结论，组成一个正确命题，选择其中一个正确命题，并给予证明．
国际象棋比赛中，胜一局得分，平一局各得分，负一局得分，今有名选手进行单循环比赛每两人均赛一局，赛完后发现各选手得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第一名选手与第二名选手均没有负一局，第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多分，还知道第四名选手得分是最后四名选手的得分总和，问前六名选手各得分多少？说明理由．
如图，和中，点、、、在同一直线上，有下面四个论断：；；；请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，使它组成一个真命题，并加以证明．
在等腰中，，高，所在的直线相交于点，将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，连接．
如图，当时，
求证：；
求的度数．
当时，补全图，并求证：．
已知：如图，，，判断图中有哪些直线平行，并给予证明．
如图，已知，，，与互补，试说明的理由．
如图，直线直线，垂足为点，点，分别在射线，上不与点重合，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，与交于点．
当时，求、的度数
如图，当点，在射线，上任意移动时不与点重合，的大小是否变化若不变化，请求出的度数若变化，请说明理由
当等于多少度时，．
在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．
如图，当时，求证：
若，
如图，当时，求的值．
是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，并求的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，
，
，故正确，符合题意；
，
，
，
，故正确，符合题意；
，
，
，
又，
，无法判定，故错误，不符合题意；
又，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
由三角形的内角和与角平分线的定义求，由和平分判断，结合求与的关系判断，由三角形的内角和与平行线的性质判断．
本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断的关键，解题的时候要多次应用等量代换．
2.【答案】
【解析】解：同旁内角互补，错误，是假命题；
若，则，错误，是假命题；
直角都相等，正确，是真命题；
相等的角是对顶角，错误，是假命题，
故选A．
利用平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质等知识，难度较小．
3.【答案】
【解析】解：延长，交于点，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选项C不符合题意；
，
，，
平分，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
为中点，
故选项B不符合题意；
≌，
，
为中点，
，
，
故选项D不符合题意；
≌，≌，
，，
，
，
与不一定相等，
不一定成立；
故选项A符合题意．
故选：．
：先根据，推，再根据平分，平分，进一步推，证明；
：延长，交于点，先通过证明≌，推，再证明≌，
从而证明为中点；
：根据≌，得，再根据为中点，得，最后的；
：由≌，≌，推，，再根据，推，
因此不一定成立．
本题考查了全等三角形的判定与性质、命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质的应用，辅助线的做法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，不满足，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、，，满足，但，说明命题若则是假命题，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，故B符合题意；
C、，，不满足，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、，，不满足，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
5.【答案】
【解析】解：丙与其他球队均打平，
丙得分为分，
甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名四队得分互不相等，
丁平负或平负得分或分，
当丁平负时，甲胜平得分，乙胜平负得分满足条件，四个球队的得分之和为分；
当丁平负时，甲胜平得分，乙胜平负得分满足条件，四个球队的得分之和为分．
则四个球队的得分之和可能为分或分．
故选：．
利用已知得出丙平得分为分，根据甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名四队得分互不相等，可得丁平负或平负得分或分，当丁平负时，甲胜平得分，乙胜平负得分满足条件；当丁平负时，甲胜平得分，乙胜平负得分满足条件；进而得出答案．
此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜平负场次是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，，
，
，
，，
与相等的角有、、、、共个．
故选：．
根据平行线的性质确定出与相等的角即可得解．
本题考查了平行线的性质，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
7.【答案】
【解析】解：过点作直线，
，
，
，，
，故本小题错误；
过点作直线，
，
，
，，
，即，故本小题正确；
过点作直线，
，
，
，，
，即，故本选项正确；
，，，
，
，即，故本小题正确．
综上所述，正确的小题有共个．
故选：．
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质可得出；
先得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
对顶角相等．
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，故错误，
故选：．
根据垂线的性质、对顶角的性质、点到直线的距离，可得答案．
本题考查了点到直线的距离、平行线的性质、点到直线的距离，利用垂线的性质、对顶角的性质、点到直线的距离是解题关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．根据题意画出图形，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】
解：当时，；
当时，；
当时，，
；
当时，，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：如下图，
，
．
和的平分线交于点，
．
，
，
，
，
．
故选：．
先根据得出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据可得出的度数，进而可得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
本题查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查三角形内角和定理和直角三角形的判定，难度不大确定三角形是直角三角形的条件是有一角是直角根据三角形内角和定理，结合已知条件可分别求出各角的度数，然后作出判断
【解答】
解：，
若，则，三角形为直角三角形；
，则，，，三角形为直角三角形；
，则，，，三角形为直角三角形；
，则，，三角形不是直角三角形；
，则，，是直角三角形．
故选C．

12.【答案】
【解析】解：在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，故B选项结论正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故A选项结论正确；
过点作于，于，连接，如图，
在中，和的平分线相交于点，
，
，故D选项结论错误；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故C选项结论正确．
故选D．
13.【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等
【解析】解：此命题的题设是：内错角，结论是：相等，
如果那么”的形式为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
先区分题设和结论，再写成“如果那么”的形式即可．
本题考查的是命题与定理，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．
14.【答案】
【解析】解：因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有个，其序号是．
故答案为：，．
分别根据角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理对各小题进行逐一判断．
本题考查的是角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出的度数．
根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出与和的关系，然后可得答案．
【解答】
解：如图，过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可得：，，
；
如图，过作，
，
，
，，
，
，
，
由折叠可得：，，
，
综上所述：的度数为或．
故答案为或．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．作出图形，分两三角形在点的同侧时，设与相交于点，根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形内角和定理求出，然后求出，再根据每秒旋转列式计算即可得解；两三角形在点的异侧时，延长交于点，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形内角和定理求出，然后求出旋转的度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解．
【解答】
解：两三角形在点的同侧时，如图，设与相交于点，
，
，
，
，，
，
，
旋转角，
每秒旋转，
时间为秒；

两三角形在点的异侧时，如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
，
旋转角为，
每秒旋转，
时间为秒；
综上所述，在第或秒时，边恰好与边平行．
故答案为或
17.【答案】真 ：：
【解析】解：令等边三角形三边的长度为，
则，符合奇异三角形的概念，
“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
中，，，，，
根据勾股定理得：，记作，
又是奇异三角形，
，
将代入得：，即不合题意，舍去，
，
将代入得：，即，
将代入得：，即，
则：：：：．
故答案为：：：；
，
点、、、共圆，记作，
是的直径，
，
，
，
又，，
，
是奇异三角形；
设，，
，，
由得，即，
为直角三角形，
或，
，当时，，即，
由，得：，
；
，当时，，即，
由，得：，
，
；
综上，或．
令等边三角形三边的长度为，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
由三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，记作，再由新定义两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式，记作，或，记作，联立或，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
是的直径，即可求得，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
设，，知，，结合得，根据为直角三角形，可分或两种情况，根据勾股定理可分别得出关于、的另一个方程，结合式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
18.【答案】解：取作为条件，可得结论；
如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，，
，
平分，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
还可以取作为条件，可得结论；
延长到，使得，作交的延长线于，交的延长线于．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
≌，
，，
，
≌，
，
，
平分．
【解析】取作为条件，可得结论；在上取点，使，连接，根据垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质可证；根据线段间的和差关系可得．
本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．
19.【答案】解：因为每场比赛产生的最大分值是分，这次比赛一共进行了场比赛，因此产生的分值的最大值是分．因为个人的最高得分是分，又因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多分，第二名选手最多分，因此第一、二名选手的得分的和的最多分．
情形：当他们的总分是分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多分，所以第三名选手的得分分，假设第四名选手得分分，最后四名选手的得分总和为分，由可知，第名为分，第名为分．
情形：当他们的总分是分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多分，所以第三名选手的得分分，假设第四名选手得分分，最后四名选手的得分总和为分，可知第名与第名的分数和为分，两人中必有高于分，与假设矛盾；
情形：假设第一、二名选手的得分的和是分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多分，所以第三名选手的得分分，假设第四名选手得分分，最后四名选手的得分总和为分，可知第名与第名的分数和为分，结果推出矛盾，
故第名分，第名分，第名分，第名分，第名分，第名分；
【解析】每场比赛产生的最大分值是分，这次比赛一共进行了场比赛，因此产生的分值的最大值是分．个人的最高得分是分，因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多分，第二名选手最多分，因此第一、二名选手的得分的和的最多分．接下来分三种情形讨论即可解决问题；
本题考查推理与论证，解题的关键是理解题意，学会假设推理的方法，掌握假设，推理，得出矛盾，推出假设不成立，学会用分类讨论的思想解决问题，属于竞赛题目．
20.【答案】解：以、、为条件，为结论．
证明：，
，
，
，
在与中，
，
≌，
．
【解析】只要以其中三个作为条件，能够得出另一个结论正确即可，下边以、、为条件，为结论为例．
本题与命题联系在一起，归根到底主要还是考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
21.【答案】证明：是的高，，
，，
是的高，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图：
由知：≌，
，
将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，
，
，
是等腰直角三角形，
；
补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
，是的高，
，
，
，
≌，
，
将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
【解析】由是的高，，可得，，又是的高，有，即可证≌，得；
由≌，得，而将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，有，可得是等腰直角三角形，故；
根据已知补全图形即可，由，得是等腰直角三角形，，又，是的高，可证≌，得，根据将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，有，知，故，从而，．
本题考查等腰三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用全等三角形判定和性质定理．
22.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
；
延长交与，如图，
，
，
，
，
．
【解析】利用对顶角相等得到，则，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断；延长交与，如图，由得到，加上，所以，于是根据同位角相等，两直线平行可判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
23.【答案】解：，，
，
与互补．
与互补，
，
．
，
．
【解析】先根据平行线的判定定理得出，故可得出与互补，再由与互补可知，故DF，根据即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
24.【答案】，
，
，
在中，
．
是的平分线，
．
是的平分线，
，
．
不变化，．
在中，．
是的平分线，
．
是的平分线，
．
．
由可知，．
在中，
．
．，
．，
是的平分线，
，
．
【解析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义知识点；
根据已知角度，利用三角形的内角和求出，再根据角平分线的定义，即可得到、的度数；
先根据角平分线的定义，用表示出、、，最后根据求出的度数即可；
根据求出的的度数，根据三角形内角和求出度数，再根据角平分线的定义求出，最后利用即可求解．
25.【答案】证明：，，
，，
，
由翻折可知，，
，
；
，，
，，
，，
，
，
，
由翻折可知，，
；
，
，
，
，
，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
，
不合题意，故舍去，
当，，
解得，，
综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或．
【解析】根据折叠的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质计算即可；
分、、三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于、翻转变换的性质是解题的关键．
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