2021-2022学年江苏省各地苏科版数学九年级下册第6章 图形的相似 期末试题选编 （含解析）

第6章 图形的相似
一、单选题
1．（2022·江苏南京·九年级期末）已知是线段的黄金分割点，且，，则长约为（ ）
A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382
2．（2022·江苏盐城·九年级期末）下列各组中的四条线段成比例的是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
3．（2022·江苏扬州·九年级期末）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm
4．（2022·江苏淮安·九年级期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．C．D．
5．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
7．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2=AD·AB
8．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
10．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点，，C在上，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
二、填空题
12．（2022·江苏南京·九年级期末）若，则的值为_____．
13．（2022·江苏扬州·九年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________．
14．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，在中，，为的中点，的延长线交于点，则________．
15．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
16．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____．
17．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为_____．
18．（2022·江苏徐州·九年级期末）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是_____．
19．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．
三、解答题
20．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R． 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ．

21．（2022·江苏淮安·九年级期末）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
22．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形______（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；
如图1，△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，
①若α＝26 ，∠B＝100 ，∠E＝29 ，则∠BAE＝______；
②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC＝______；
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90 ，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值．
23．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
24．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．
求证△ABC∽△DAC．
25．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．
26．（2022·江苏泰州·九年级期末）设a，b，c是的三条边长，且，判断为何种三角形，并说明理由
27．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．
28．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，．
(1)试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求MN的长．
参考答案：
1．B
【解析】根据黄金分割的定义=即可解题.
∵是线段的黄金分割点，且，
∴=
即APAB=6.18
故选B
本题考查了黄金分割的定义,属于简单题,熟悉定义概念是解题关键.
2．C
【解析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A．×3≠2×，故本选项错误；
B．4×10≠5×6，故本选项错误；
C．2×=×2，故本选项正确；
D．4×1≠3×2，故本选项错误；
故选C．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．C
【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：C．
考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
4．D
【解析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
本题考查的是相似形的定义，是基础题．
5．C
【解析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
解：，
，
，
解得，，舍去，
故选C．
本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6．C
【解析】△ADE≌△ABC
根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．A
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
解：A．添加不能证明△ACD∽△ABC，故A符合题意；
B.∠ADC＝∠ACB，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故B不符合题意；
C. ∠ACD＝∠B，∠A=∠A△ACD∽△ABC，故C不符合题意；
D.AC2=AD·AB即,∠A=∠A△ACD∽△ABC，故D不符合题意,
故选：A．
本题考查相似三角形的判定，属于基础题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．B
【解析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
解：如图，连接AF
由题意知和均为等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动
∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时
在中，，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴当最大时，
故选B．
本题考查了三角形相似，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹．
9．B
【解析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，
∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，
故选：B．
本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．C
【解析】取AB的中点D，连接CD，由等腰直角三角形的性质及A、B的坐标，可求得点C的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点的坐标．
取AB的中点D，连接CD，如图
∵△ABC是等腰直角三角形
∴CD⊥AB
∵，
∴AB⊥x轴
∴CD∥x轴
∴D(1，1)
∵等腰直角是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1
∴，
∴轴
∵C在上
∴C(2，1)
由位似比为2：1，则点坐标为(4，2)
故选：C
本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．
11．A
【解析】设DE=x m，DH=y m，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴，
∴，，
∴，，
设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，
∴，，
∴y=4x，
∴，
∴，
∴AH=6，
故路灯AH的高度为6m．
故选：A．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键．
12．
【解析】由，设，然后再代入求解即可．
解：∵，设，
∴，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13．或4
【解析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可．
解：分两种情况：
①边为矩形的长时，则矩形的宽为，
矩形的周长为：；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为：，
矩形的周长为；
综上所述，该矩形的周长为或4，
故答案为：或4．
本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
14．
【解析】根据题意作辅助线，根据已知条件可证明△DGE≌△CFE，所以DG＝FC，根据比例关系得知DG∥FC，最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案．
解：在AE上取点G，使EG＝EF，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵EG＝EF，∠DEG＝∠CEF，
∴△DGE≌△CFE，
∴DG＝FC，∠GDE＝∠ECF
∴DG∥FC，
∵AD：DB＝2：3，
∴．
故答案为．
本题主要考查了全等三角形的证明及性质、平行线分线段成比例关系，难度适中．
15．
【解析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x 1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得x1=，x2= (负值舍去)，
经检验x1=是原方程的解，
即．
故答案为：
本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16．2
【解析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出，最后再次利用平行线分线段成比例可得．
如图，过点D作BE的平行线交AC于点G，
∵，
∴．
∵D为BC中点，
∴G为CE中点，即CG=EG．
∵E为AC中点，
∴AE=CE，
∴，即．
∵，
∴．
本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
17．
【解析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ=BC，AB=CW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．
解：如图1所示，延长CE，AD交于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴∠BAD=90°，AD=BC=6，ADBC，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：
，
∵ADBC，
∴∠Q=∠ECB，
∵E为AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
在△QAE和△CBE中，
∴△QAE≌△CBE(AAS)，
∴AQ=BC=6，即QF=6+3=9，
∵ADBC，
∴△QMF∽△CMB，
∴，
∵BF=5，
∴BM=2，FM=3，
如图2所示，延长BF和CD，交于W，
同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，
∵ABCD，
∴△BNE∽△WND，
∴ ，
∴ ，
解得：BN= ，
∴MN=BN BM= 2=．
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18．四边形
【解析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．
∵以点O为位似中心，
∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则，
，OD=，
，
，
，OQ=，
，
，
，
∵，
则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形，
故答案为：四边形．
本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M．
19．8
【解析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
20．90米
【解析】根据相似三角形的性质得出 , 进而代入求出即可．
解答：根据题意得出：QR∥ST ，
则△PQR∽△PST ，
故，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．
21．（1）；（2）
【解析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
22．(1)是 ；①25 ；② ；（2）答案见解析；（3）DE＝2，BD＝．
分析：（1）由“旋转位似图形”的定义解答即可．
（2）①由“旋转位似图形”的定义得到△ADE∽△ABC，从而可以得出∠C，∠BAC的度数，由旋转的性质可知：∠EAC=α=26°，即可得到结论．
②由相似三角形对应边成比例即可得到结论；
（2）通过证明△AOD∽△BOC，从而有△AOB∽△DOC，再由∠7＝∠8，得到△ABE∽△ACD，即可得到结论；
（3）过E作EH⊥AD于H，由△ABD∽△AGE，得到AE＝2．通过证明△AHE为等腰直角三角形和勾股定理，得到DE的长，由△ADB是Rt△得到BD的长．
详解：（1）如图，△ADE和△ABC是等边三角形，∴△ADE∽△ABC，当△ADE绕点A顺时针旋转∠DAB的度数时，两个三角形位似，∴△ADE和△ABC互为“旋转位似图形”．
故答案为是．
（2）①∵△ADE∽△ABC，∴∠E=∠C=29°，∴∠BAC=180°－100°－29°=51°，由旋转的性质可知：∠EAC=α=26°，∴∠BAE=51°－26°=25°．
故答案为25°．
②∵△ADE∽△ABC，∴AD：DE=AB：BC，∴6：8=4：BC，解得：BC=．故答案为．
（2）如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△AOD∽△BOC，∴．
又∵∠5＝∠6，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠7＝∠8，
∴△ABE∽△ACD，
∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）过E作EH⊥AD于H．如图，
∵△ABD∽△AGE，
∴，∠1＝∠2．
∵AC＝6，AD＝，
∴AB＝，AG＝3，代入求得：AE＝2．
∵∠2＋∠3＝45 ，∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝45 ．
∵AE＝2，∴AH＝，
∴AH＝HD，
∴DE＝AE＝2，
∴∠DEA＝∠GEA＝90 ，
∴∠ADB＝∠GEA＝90 ，
根据勾股定理，得：BD＝；
综上所述：DE＝2，BD＝．
点睛：本题是相似三角形综合题．考查了相似三角形的判定与性质以及新定义．解题的关键是理解新定义“旋转位似图形”．
23．（1）AD2=AC CD．（2）36°．
【解析】（1）通过计算得到=，再计算AC·CD，比较即可得到结论；
（2）由，得到，即，从而得到△ABC∽△BDC，故有，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论．
（1）∵AD=BC=，
∴==．
∵AC=1，
∴CD==，
∴；
（2）∵，
∴，
即，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，
∴BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠ABD=36°．
考点：相似三角形的判定与性质．
24．证明见详解
【解析】由题中线段长度得出＝，结合相似三角形的判定定理即可证明．
证明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，
∴＝＝2，．
∴＝．
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC．
题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
25．(1)见解析
(2)
【解析】（1）连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；
（2）证明，得出对应边成比例，即可求出的长．
（1）
证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）
解：的半径为，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．
26．为等边三角形，理由见解析
【解析】根据等比性质并结合进行判断即得结论.
解：为等边三角形.理由如下：
因为，所以由比例的性质可得，
，
因为a，b，c是的三条边长，
所以a＞0，b＞0，c＞0，
所以，，，
所以，故为等边三角形.
本题考查了比例性质的应用，解题的关键是正确运用等比性质并结合进行判断.
27．(1)相切，理由见解析
(2)
【解析】（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；
（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．
(1)
解：所在直线与相切．
理由：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵是半径，
∴所在直线与相切．
(2)
解：连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴的半径为．
本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．(1)直线PC与⊙O相切，证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接OC，，，， ，是半径，进而可说明直线PC与⊙O相切．
（2）如图，连接ON，，，为等边三角形；可知的值，，求得的值，求解即可．
(1)
解：直线PC与⊙O相切．
如图，连接OC，则
∴
∵
∴
∴
∵AB为⊙O的直径
∴
∴
即
∴直线PC与⊙O相切．
(2)
解：如图，连接ON
∵，，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴为等边三角形
∴
∴．
本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，的直角三角形，三角形相似等知识点．解题的关键在于灵活综合运用知识．