2021-2022学年江苏省各地苏科版数学九年级下册第7章 锐角三角函数 期末试题选编 （含解析）

第7章 锐角三角函数
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·九年级期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
2．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·九年级期末）已知为锐角，且，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
6．（2022·江苏盐城·九年级期末）在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC为2m，则AB的长度为（ ）m．
A． B． C． D．4
9．（2022·江苏苏州·九年级期末）如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头，的俯角分别为和，且，，在同一水平线上，已知桥米，则无人机的飞行高度（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
10．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．
11．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为________
12．（2022·江苏常州·九年级期末）如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____．
13．（2022·江苏泰州·九年级期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．
14．（2022·江苏扬州·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____．
15．（2022·江苏南京·九年级期末）已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________．
16．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶2，坡面AB＝6，则堤高的高度是_______．
三、解答题
17．（2022·江苏南通·九年级期末）计算：
(1)；
(2)（m＋2）．
18．（2022·江苏扬州·九年级期末）计算：
(1)sin60° cos30°﹣1；
(2)2sin30°＋3cos60°﹣4tan45°．
19．（2022·江苏镇江·九年级期末）计算：
(1)；
(2)．
20．（2022·江苏常州·九年级期末）计算：
（1） （2）
21．（2022·江苏南通·九年级期末）（1）计算：；
（2）已知二次函数，当时，，当时，．求该二次函数的解析式．
22．（2022·江苏常州·九年级期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；
（2）计算：sin60°﹣cos245°．
23．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
24．（2022·江苏盐城·九年级期末）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
26．（2022·江苏镇江·九年级期末）已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；
(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．
27．（2022·江苏常州·九年级期末）小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离．（结果保留根号）
28．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，以点为圆心，为半径的交轴于点、（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，连接，交轴于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)求的度数；
(3)若点是直线上位于第一象限内的一个动点，连接交轴于点，交于点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
29．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，在距某居民楼楼底点左侧水平距离60m的点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离m，在坡顶点处测得居民楼楼顶点的仰角为28°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，求居民楼的高度（精准到0.1m，参考数据：，，）
参考答案：
1．A
【解析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．
2．B
【解析】根据勾股定理求出和的各边长，由三边对应成比例的两个三角形相似可得，所以可得，求值即可.
解：由勾股定理，得，，，，
，，，
，
，，
.
故选：B
本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活利用正方形方格的特点是解题的关键.
3．A
【解析】勾股定理求得，根据网格的特点取的中点，则，根据正弦的定义求解即可
如图取的中点，连接，
中，
、
故选A
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，构造直角三角形是解题的关键．
4．A
【解析】根据特殊角的三角函数值解答．
∵为锐角，且，
∴．
故选A．
此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
5．D
【解析】根据图像可以得到时，，从而可以判断A；根据图像可以得到和的长度，从而可以判断B；根据函数图像可以求得在时，求得底边上的高，从而可以得到的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在时，点Q与点C重合，点P运动到边上，与D点相距，在中利用三角函数定义求解，从而判断D．
解：A、由图2可知，当时，，故A正确；
B、由图像可知，，故B正确；
C、作于点F，作于点M，如下图所示，
由图像可知，三角形的最大面积为40，
∴，
解得，
当时，，
∴，即，
解得，
∴的面积，
即，故C正确；
D、当时，点Q与点C重合，
由图像可知，，
所以点P运动到边上，且，如下图所示，
在中，，
∴，
∴，
∴，故D错误；
故选D．
本题考查动点问题的函数图像，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形函数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
6．D
【解析】由，，可利用锐角三角函数求出AC边的长，再利用勾股定理，即可求出BC的长．
解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故选D．
本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形以及勾股定理．
7．C
【解析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知的值，由，设，根据的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标．
解：
即
由勾股定理可得
即
如图，过点C作CD轴于点D
设
解得
经检验，是原方程的解
点C的坐标为
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
8．D
【解析】根据坡比为1∶，可得m，利用勾股定理即可求得AB．
解：坡比为1∶，即，解得m，
由勾股定理可得：m，
故选：D
此题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理，解题的关键是理解坡比的含义，正确求得AC．
9．B
【解析】由、可得出、，进而可得出、，再结合即可求出的长度．
解：，，
，，
，，
，
（米．
答：无人机的飞行高度为米．
故选：．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．
10．
解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=，
故答案为．
11．
【解析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
如图：作BD⊥AC于D，
BD=，AD=3，
tanA=，
故答案为．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．##
【解析】将转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可．
解：延长CD交正方形的另一个顶点为，连接BE，如下图所示：
由题意可知：，，
根据正方形小格的边长及勾股定理可得：，，
在中，，
，
故答案为：．
本题主要是考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到所求角在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，这是解决该题的关键．
13．3或
【解析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．
解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝AB cos30°＝4×＝．
在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，
∴
∴BC＝BD+DC＝；
如图2，同理可得，
AD＝AB＝2，BD＝AB cos30°＝4×＝，，
∴BC＝BD﹣DC＝．
综上所述，BC的长为或；
故答案为：3或．
本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．
【解析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=．
故答案为．
本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
15．##
【解析】先画出符合题意的图形，如图，为等边三角形，为的外心，先求解的长，再证明 再利用三角函数的含义求解的长，从而可得答案.
解：如图，为等边三角形，为的外心，
过点，
故答案为：
本题考查的是正多边形与圆，等边三角形的在，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握“正多边形与圆的基本性质”是解本题的关键.
16．6
【解析】直接利用坡度的定义得出，进而利用勾股定理得出答案．
解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，
∴，
∴设BC=x，则AC=2x，
∵坡面AB=6，
∴BC2+AC2=AB2，
即x2+（2x）2=（6）2，
解得：x1=6，x2=-6（不合题意舍去），
故堤高的高度是6．
故答案为：6．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
17．(1)；
(2)2m+6．
【解析】（1）原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
(1)
解：
=；
(2)
解：（m＋2）
=2（m+3）
=2m+6．
本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．(1)
(2)
【解析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．
（1）
解：原式=
=
=；
（2）
原式=
=
=
本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．(1)
(2)
【解析】根据特殊角的三角函数值进行混合运算即可．
(1)
(2)
本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（1）；（2）
【解析】（1）先求出对应特殊角的锐角三角形函数的值，然后代入求解即可．
（2）先求出对应特殊角的锐角三角形函数的值，然后代入求解即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
本题主要是考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练记忆正弦、余弦、正切的几个特殊对角对应的值，是求解该题的关键．
21．（1）；（2）
【解析】（2）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）把x，y的值分别代入得关于a，b为未知数的方程组，求解方程组即可．
解：（1）
；
（2）把，，，分别代入得
，
解得，
∴．
本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算以及运用待定系数法示二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
22．（1）x1=－2，x2=4；（2）1
【解析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值计算，再根据二次根式的运算法则计算即可．
解：（1）由x2﹣2x﹣8＝0得：（x+2）(x－4)=0，
∴x+2=0或x－4=0，
∴x1=－2，x2=4；
（2）sin60°﹣cos245°
=
=
=1．
本题考查解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
23．（1）；（2）
【解析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，
∴．
∴．
∴．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=．
∴DE=CE﹣CD=．
∴．
本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．
24．教学楼BC高约13米．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．则四边形BCFE是矩形，在Rt△ADE中，由tan∠DAE=tan37°=，求得，在Rt△DCF中，求得，进而求得，即可求得．
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan∠DAE=tan37°=≈0.75．

∴AE=40．
∵AB=57，
∴BE=17．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=17．
∴BC=EF=30－17=13．
答：教学楼BC高约13米．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键．
25．灯杆AB的长度为2.8米．
【解析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC ∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．
过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．
由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝＝，
∵DE＝13.3，
∴x+＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
本题主要考查解直角三角形 仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
26．(1)y=x2-4x+3；
(2)（2，1）；AE⊥BC，；
(3)存在，M点的横坐标为或；
(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．
【解析】（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；
（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；
（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．
(1)
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，
∵tan∠ABC=1，即，
∴OC=OB=1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
(2)
解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，
解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE=BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴E点坐标为（2，1），
∵AE=，BE=，AB=3-1=2，
，
∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE=，
∴tan∠ACE=，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；
，
(3)
解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB=∠BAM，
∴tan∠ACB= tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE，
∴tan∠BAM=，
∵AF=OF-OA=1，
∴GF=，
∴G点坐标为（2，），
同理求得直线AG的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M点的横坐标为；
当AM在x轴下方时，
同理求得直线AG1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M1点的横坐标为；
综上，存在，M点的横坐标为或；
，
(4)
解：∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=，
同（3）得H点坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q点的坐标为(，)；
当AQ在x轴下方时，
同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q1点的坐标为(，)；
综上，Q点的坐标为(，)或(，)．
,
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．
27．小王与受伤人员间AC的距离为m．
【解析】首先过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，然后在中，利用锐角三角函数值，求出、的长，在中，利用锐角三角函数值求出的长，最后利用，即可求出的长．
解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：
由题意可知，，，
在中，，，
，，
在中，，
，
．
本题主要是考查了解直角三角形的实际应用，熟练利用特殊角的三角形函数值求出对应边长，这是解决该题问题的关键．
28．(1)相切，理由见解析
(2)15°
(3)是，2
【解析】（1）连接，证明直线即可得到结论；
（2）由直线：可求出点A，点B坐标，得，再根据正切意义求出，得，再由三角形外角关系可求出结论；
（3）连接、，证明可得，在等腰直角三角形中由勾股定理可得，从而可得结论．
（1）
连接OP，如图，
∴OP=OE
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴直线m
∴直线m与圆O相切；
（2）
∵直线：与轴交于点，与轴交于点，
∴令，则；令，则；
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）
在中，∵ ，
∴
∴的半径为1
连接ED，HD
∵
∴
即
又
∴
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是定值，为2
本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，解直角三角形、勾股定理等知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
29．居民楼的高度为82.1
【解析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩形，根据CD的坡度得，设DF＝4k，CF＝3k，在中，根据勾股定理得CD=5k，有根据CD＝45，得k=9，即可得DF=36，CF＝27，则BE＝36，DE＝BF＝87，在Rt△ADE中，利用锐角三角形函数可得，从而可得答案.
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵，
∴四边形DFBF是矩形，
在Rt△DCF中，∵CD的坡度为，
∴，
设DF＝4k，CF＝3k，
在中，根据勾股定理得，
∵CD＝45=5k，
∴k＝9，
∴DF＝4×9=36，
CF＝3×9=27，
∴BE＝36，DE＝BF＝27＋60＝87．
在Rt△ADE中，，
∴（m）．
则居民楼的高度为82.1m．
本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造辅助线，掌握勾股定理和锐角三角函数．