课件15张PPT。1.1.1 变化率问题问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,在1≤ t ≤2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探 究:现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（注： 3月18日为第一天）问题3：问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义
是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意
yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率(4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的
数学意义是什么？（形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则理解：
1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式思考:观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A 、 3 B、 3Δx-(Δx)2
C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
2x0+Δx 小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
课件11张PPT。1.1.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求
瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值一差、二化、三极限 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.课堂练习:
如果质点A按规律 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6 B.18 C.54 D.81练习：课件17张PPT。1.1.3导数的几何意义先来复习导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:
下面来看导数的几何意义: 如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.斜率!PQ割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即归纳:求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
作业:2.课件25张PPT。1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否
在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种
情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)上
一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为
y-y0=f’(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免
疏漏。1.3.1 函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。在(－ ∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1
察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.如果恒有 ，则 是常数。题1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论练习判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.练习2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是练习4.求证: 函数 在 内是减函数.解: 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增增例2：在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增
（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而
仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题
求证：方程 只有一个根。作业：
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。课件24张PPT。新课标人教版课件系列《高中数学》
选修2-21.3.3《导数在研究函数 中的应用-最大(小)值》教学目标 (1)知识目标：能探索并应用函数的最大(小)值与导数的关系求函数最大(小)值。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的良好习惯。
教学重点：探索并应用函数最大(小)值与导数的关系求函数最大(小)值。
教学难点：利用导数信息判断函数最大(小)值的情况。 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义——复习: 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)?求导函数f `(x)；
(2)?求解方程f `(x)=0；
(3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤： 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 函数最值问题.一是利用函数性质
二是利用不等式
三今天学习利用导数 求函数最值的一般方法： (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 f(x)在闭区间[a,b]上的最值：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 解法二、 f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2-+3112练习P106、P107 6思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值 导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义 多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( )
y’=100(x99+x49+x24)
(B) y’=100x99
(C) y’=100x99+50x49+25x24
(D) y’=100x99+2x49 3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 . 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –11 (D) 0单调递增函数
(B) 单调递减函数
(C) 部份单调增，部分单调减
(D) 单调性不能确定 7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于( )
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt (D) –8+2Δt 8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为( )
(A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1 例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a 例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是
4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1 例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1. 例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间. 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )
(2,8) (B) (-2,-8)
(C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为( )
5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0
(C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 . 再见课件19张PPT。思考一：如何求出下列图形的面积？ 从中你有何启示？“分割”得到熟悉
的图形思考二：想一想我国魏晋时期的数学家刘徽是如何
研究圆的面积？有何启示以直代曲曲边梯形启发为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。根据方案一，分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。第一种方案“以直代曲”的具体操作过程练习总结求曲边梯形面积的方法：分割以直代曲求和逼近课件16张PPT。求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
f(xi)Dx近似之。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1
xixi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x练习：1、把区间〔1，3〕n等分，所得n个小区间的长度应为（ ）
A、1/ｎ B、2/n C、1/2n D、3/n
2、关于近似替代下列说法正确的是（ ）
A、在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近
似替代；
B、在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近
似替代；
C、在分割后的每个小区间上，只能用中间端点的函数
值近似替代；
D、在分割后的每个小区间上，可以用区间内任意一点
的函数值近似替代。
3、在区间〔0，8〕上插入9个等分点，则所分的小区间长度为 ；第5个小区间是
4/5[16/5,4]汽车行驶的路程探究思考探究思考探究思考 练习课件20张PPT。高二数学定积分的概念求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
f(xi)Dx代替。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xixi+1xi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度△x一、定积分的定义 如果当n?∞时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的相关名称：1练习：P50 A组3题
利用定积分的定义,计算下列式子的值. 二、定积分的几何意义： x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。探究1:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?探究2:定积分可能是负值吗？根据定义计算结论：定积分可以为负值，当总有例题2：即曲边梯形面积的负值。 探究3：当f(x)?0时，定积分 的几何意义： 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，=-S=-S设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为对速度求定积分物理意义：二、定积分的几何意义 表示各部分面积的代数和性质1. 三、定积分的计算性质 证明：性质2. 证明：三: 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3. 注意： 不论a，b，c的相对位置如何都有计算小 结1、求曲边梯形面积分割-----近似代替-----求和-----取极限2、定积分定义3、定积分几何意义4、定积分计算性质课件11张PPT。1.7.1 定积分在几何中的应用1.7 定积分的简单应用： 复习微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:图4.如图解：两曲线的交点 例题方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1. 作图象;2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.解:两曲线的交点直线与x轴交点为(4,0)S1S2解:两曲线的交点 练习课堂小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1. 作图象;2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.解:两曲线的交点于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 练习课件17张PPT。定积分在物理中的应用一、变速直线运动的路程：例1.一辆汽车的速度－时间曲线如图，求汽车在这1min行驶的路程.解：∵由右图可知：∴汽车在这1min行驶的路程是你有更简单
的方法吗？练习：一辆汽车作变速直线运动，其速度函数为其中，时间t的单位为：s，速度v的单位为：m/s（1）汽车前2s经过的路程S=_____________；
（2）汽车前30s经过的路程S=_____________；
（3）汽车在这1min内经过的路程S=____________.8m616m 1320m 我们知道，如果物体在恒力F(单位：N)的作用下做
直线运动，且物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，
则力F所作的功为：W=Fs二、变力作功：思考：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且
物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a如何计算变力F(x)所作的功W呢？二、变力作功：例2.在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所作的功。l解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧
所需的力F (x) 与弹簧拉伸（或压缩） 的
长度x成正比，即F(x)=kx∴由变力作功公式，得到答：克服弹力所作的功为其中常数k是弹性系数(劲度系数)(1J=1N·m)( J )练习：已知一弹簧长为25cm，若加以100N的力，则弹簧
伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所需作的功。解：设使弹簧拉伸（或压缩） xm所需的力为F(x)，
则F (x) =kx，其中k为弹簧的弹性系数
∵依题意可得100=k(0.30-0.25)，解得k=2000
∴F (x) =2000x
∵弹簧由25cm伸长到40cm共伸长了15cm，即0.15m
∴所需作的功为:答：使弹簧由25cm伸长到40cm所需作的功为22.5 J。例3.课本P68 A组 第4题解：设t s后两物体相遇，则化简，得t 3-5t 2+t-5=0解得t=5∴5s后两物体相遇
此时物体A距离出发地的距离是答：5s后两物体相遇，且此时物体A距离出发地130m.例4.课本P68 B组 第2题hb解：建立如图直角坐标系，则可设
抛物线方程为y=ax2
∵依题意可知抛物线经过点∴抛物线的方程为∴抛物线拱的面积是答：抛物线拱的面积是 。三、针对性训练C2.求由直线y=x-4与曲线y2=2x所围成的图形的面积. 四、小结巩固掌握定积分在物理中的应用.五、布置作业作业:课本P19 习题1.2 A组 1. 7.练习:活页作业 §1.2 导数的计算
（选填题及第11题必做）活页作业习题讲评：P65 5.～7. 计算由曲线y2=x,y=-x2所围成图形的面积S.y=-x2答案：
1. 2. 课件14张PPT。1.6 微积分基本定理
第一课时1. 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?一、引入如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t).由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)=s′(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为S，你能分别用s(t)，v(t)表示S吗？
由定积分的定义得定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则例1 计算下列定积分 解（１）∵ 练习： 1复习: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 例 ２．计算下列定积分 原式解:∵ 练习： 19e2-e+1例 ３．计算下列定积分 解（1）∵01解00微积分基本公式三、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．课件13张PPT。1.6 微积分基本定理一: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 性质3. 定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则定积分公式例 1．计算解（1）∵01解例５ 计算微积分与其他函数知识综合举例：练一练：已知f(x)=ax2+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,课件12张PPT。 1.3.2函数的极值与导数abxyO定义 一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有我们就说 f (x0)是 f (x)
的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该
点的导数为0例：y=x3练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6因为 所以例1 求函数 的极值.解:令 解得 或当 , 即 , 或 ;
当 , 即 .当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值:解: 令 解得 列表:+单调递增单调递减– 所以, 当 时, f (x)有极小值练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值:解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 #4下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 有极大值?
(2)导函数 有极小值?
(3)函数 有极大值?
(4)函数 有极小值?或课件34张PPT。第一章 导数及其应用复习小结本章知识结构 微积分 导数定积分导数概念导数运算导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度面积 功 积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用路程定积分概念微积分基 本定理 最优化问题①函数的平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②函数的瞬时变化率导数返回导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:返回 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:返回1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理f '(x)>0f '(x)<0如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.返回2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值. 函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数返回两年北京导数题,感想如何? 复合函数的导数:注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:或返回返回过p(x0,y0)的切线1) p(x0,y0)为切点2)p(x0,y0)不为切点例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切线方程为：
y－2=2(x－1),
即 y=2x变式1：求过点A的切线方程？例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， ∴切线方程为
y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0)
化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 解得x0=1或x0=－k= f/(x0)= 3 x02－1，②当x0=－ 时，所求的切线方程为：
y－2= － (x－1),即x+4y－9=0
变式1：求过点A的切线方程？例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为_____________________． (2,8)或(－ 2, －4) y=11x－14或y=11x+18 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
f(xi)Dx近似之。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xixi+1xi (1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度△x一、定积分的定义 如果当n?∞时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。积分下限积分上限 说明：
(1) 定积分是一个数值,
它只与被积函数及积分区间有关，(2)定积分的几何意义： x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，=-S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：=-S三: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 三: 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3. 定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则课件17张PPT。2019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/72019/1/7①②2019/1/72019/1/7课件11张PPT。3.2导数的计算 1.2.1
几个常用函数的导数求函数的导数的方法是:函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0,y0 )附近的变化规律;1) |F’(x)|越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡”2) |F’(x)|越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”解：Δf=Δy=f(x0＋Δx)-f(x0)=3(2x0 +Δx)Δx求函数y=3x2在 处的导数.=3(x0+ Δx)2-3x02点(x,y)x=x0解：Δf=Δy=f(x＋Δx)-f(x)=3(x+ Δx)2-3x2=3(2x+Δx)Δx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数的导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:f(x)在x=x0处的导数f(x)的导函数x=x0时的函数值关系二、新课——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .1) 函数y=f(x)=c的导数.请同学们求下列函数的导数:表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?看几个例子:例２.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。看几个例子:课件15张PPT。2019/1/7 1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2019/1/7常见函数的导数公式：公式１：公式２：公式３：公式４：还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在，如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？2019/1/7由定义求导数（三步法）步骤:注意:2019/1/7若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差),即 根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则2019/1/71.和(或差)的导数2019/1/72019/1/72.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即2019/1/72019/1/72019/1/73.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即2019/1/72019/1/71). 求函数y=(3x-2)2的导数 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.是否还有用其它的办法求导呢?那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?2019/1/7问题:指出下列函数的复合关系解:2019/1/7复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为如:求函数y=(3x-2)2的导数,注: y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
的乘积.令y=u2,u=3x-2,则 从而2019/1/7函数 的导数是( )A