课件12张PPT。向 量 岳阳县一中高一数学备课组
谁更重?猫能捉住老鼠吗?老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?速度是既有大小又有方向的量
既有大小又有方向的量叫向量.一. 向量的定义几何法:用有向线段表示
.2. 代数法:用字母表示(1).你能举出那些量是符合上述
要求的量?
(2).问题:温度是不是向量?
二.向量的表示有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段三. 向量的有关概念单位向量: 长度为1个单位长度的向量.2.两个基本向量：3.向量的关系：练习(1)平行向量是否一定方向相反?
(2)不相等向量是否一定不平行?
(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两向量在同一直线上,则它们是什么?
(6)非零向量相等的充要条件是什么?
(7)共线向量一定在一条直线上吗?四. 例题如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出
图中与向量 、 、 相等的向量.
问题:(1) 与 相等吗?
(2) 与 相等吗?
(3) 与 长度相等的向量有几个?
(4) 与 共线的向量有哪几个?O例二 下列情形中,向量终点构成什么图形?(1)把所有单位向量移到同一个起点;
(2)把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一起点;
(3)把平行于一直线的一切向量平移到同一起点;3. 如图:船的速度为 , 水流的速度为
你能求出 与 的和吗?五. 练习与作业P96 1 , 2 , 3
P96 1, 2 , 3补充: 下列各命题的条件是结论的什么条件六. 小结向量的模是可以进行大小比较的;
向量是不能比较大小的.
有意义
没有意义课件8张PPT。5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法5.2 向量的加法与减法 由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘
飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之
和是什么？ 台北香港上海5.2 向量的加法与减法向量的加法：定义：求两个向量和的运算．向量a与b的和记作a+b.下一页5.2 向量的加法与减法向量和的特点：（1）两个向量的和仍是一个向量．（2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且
|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且
|a+b|=|b|-|a|． 5.2 向量的加法与减法向量的运算律：交换律：a+b=b+a平行四边形法则三角形法则5.2 向量的加法与减法不一定5.2 向量的加法与减法例2.一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，同
时，河水的流速为 ，求船实际航行速度的大小与方向
（用与流速间的夹角表示）． 5.2 向量的加法与减法ADA课件7张PPT。5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积 在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量．问题：3a与a方向相同
|3a|=3|a|-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积-12a5b-a+5b-2c5.3 实数与向量的积5.3 实数与向量的积R=6B5.3 实数与向量的积课件8张PPT。5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示平面向量的数量积5.7 平面向量数量积的坐标表示11005.7 平面向量数量积的坐标表示性质即平面内两点间的距离公式．（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式. 5.7 平面向量数量积的坐标表示例题讲解a 、b 夹角的余弦值？ 5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示5.7 平面向量数量积的坐标表示练习：（2）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量. 课件23张PPT。平面向量的坐标运算
（第一课时）南昌市外国语学校
程绍烘
数 列 平面向量的坐标运算一、教学目标 （1）知识目标： （2）能力目标： （3）情感目标： （1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算。 体会类比思想、转化思想、数形结合思想；培养学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。培养学生的形象思维能力和发现能力。 激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物
在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。 二、教材分析１．教材的内容、地位和作用 教材的内容是平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，向量平行的坐标表示。共讲授二课时，本节课为第一节课，主要讲授平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算；本课时内容是教材新增内容，有着广泛应用，通过学习使很多几何问题的证明可转化为学生熟知的数量运算。它是继向量的几何表示之后的又一种新的表示，继向量的几何运算之后的又一种新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础（向量平行的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示），起作承上启下的重要作用。 因为向量的坐标运算是一种新的运算，且是用代数方法解决几何问题的重要工具,因此确定教学重点是：平面向量的坐标运算；因为向量的坐标表示是不同于几何表示的一种新的表示，学生以数表示形不易理解和接受，在处理起点不在坐标原点的向量坐标表示时容易遇到障碍，因此确定教学难点是：平面向量坐标表示的概念的建立；因为向量的坐标表示的概念是学习向量坐标运算的基础，因此确定教学关键是：对平面向量坐标表示的概念的正确理解。2．教学重点、难点、关键 二、教材分析三、学生分析平面向量的基本定理的学习为学生学习本节课内容扫清了知识上的障碍，平面上点的坐标表示的学习方法为学生学习本节课内容扫清了学习方法上的障碍；学习本节内容过程中可能出现的思维障碍是：平面向量的坐标表示和平面向量的坐标运算的公式的推导。 四、教法、学法分析 考虑到学生已学过平面上点的坐标表示、平面向量的基本定理，以及教材内容的特点，为突破重点、难点，在教学上，我着重以目标教学法为主，综合运用过程教学及分层教学的方法（创设情境、激发思维---展示目标、引导探究---达到目标 、发展思维---变式训练、强化目标 ---归纳小结、深化目标 ）。 贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维
为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思”
的八字方针1.教学方法 2．教学手段 根据本节内容特点，为了更好地突出重点，
突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，利
用多媒体辅助手段。 四、教法、学法分析 五、教学过程设计五、教学过程设计1.回答平面向量的基本定理； 2.如图，已知向量e1、e2,求作向量：3e1+2e2.
【尝试探索、建立新知】 五、教学过程设计（1）类比在平面直角坐标系内点的坐标表示，探究向量的坐标
表示。 a=xi+yj(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作记作a=(x,y). x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x,y)
叫做向量的坐标表示。 五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 （2）探究向量坐标表示的唯一性。 A1、B1的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)a=A1B1 =（x2-x1,y2-y1） 五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 （3）探究向量的坐标运算a＋b已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) 向量的加法：a－b已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),
则a-b=(x1-x2,y1-y2) 已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy） 五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 向量的减法：同理可得数乘向量的坐标运算【例题示范、学会应用】 例1 如图，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标。 五、教学过程设计五、教学过程设计【例题示范、学会应用】 例2 已知a=(2,1), b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标。（掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标） 例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。（若向量相等，则它们的坐标相等）【变式训练、巩固提高】1.P112，T1，2，3，4。
2.已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AD=（2，5），AB=（-2，3），则CD坐标为_______DO坐标为_______CO坐标为_______.
五、教学过程设计①理解平面向量的坐标的表示a=xi+yj=(x,y).
②掌握平面向量的坐标运算：a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)； a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)；a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）。
③体会向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来的数形结合的数学思想。五、教学过程设计【归纳小结 延伸提高】P112。T1，2，3，4。
研究性题：已知ABC的顶点A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB、AC、BC的中点，MN交AD于F，求DF的坐标。 五、教学过程设计巩固平面向量坐标的运算 研究用平面向量坐标的运算解决几何中的问题 【分层作业 巩固创新】板书设计五、教学过程设计谢谢指导五、教学过程设计课件8张PPT。5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算5.4 平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？1 00 10 05.4 平面向量的坐标运算由a 唯一确定2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？两者相同概念理解3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？5.4 平面向量的坐标运算解：由图可知同理，5.4 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差5.4 平面向量的坐标运算 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相
应坐标．5.4 平面向量的坐标运算 例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）
=（6，3）+（-12，16）
=（-6，19）5.4 平面向量的坐标运算 例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）课件11张PPT。平面向量的数量积 一、知识梳理：1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：
（2）向量夹角的范围：
（3）向量垂直：
[00 ，1800]共同的起点（4）两个非零向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0a · b = |a| |b| cosθ几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。2、平面向量数量积的重要性质 （1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
ab为非零向量，e为单位向量3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a · b = b · a（2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a ·b ）=a ·（λb ） （3）（分配律）（a + b ）· c = a · c + b · c
二、基础练习 1、判断下列命题的真假（1）平面向量的数量积可以比较大小
（2）因为直线的夹角范围为[00 ，900 ]，所以向量的夹
角范围也为[00 ，900 ]。
（3）已知b为非零向量因为0×a =0， a ·b = 0,所以a = 0
(4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a ·b ·c = a·（b ·c）2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和b的夹角
3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为
∏/3， a在e方向上的投影为
三、典型例题例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求证：
| a + b |= 2 | b |
解：∵ （a – b）⊥（a + 3 b）
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0
即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0
即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0
∴ (a + b)2 = 4 b2
即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴ | a + b | = 2 | b |
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
例3、求证：直径所对圆周角为直角证明：设AC是圆O的一条直径，∠ABC为圆周角，如图
设AO = a，OB=b，则AB= a + b，OC = a， 则BC=OC-OB= a - b
∵| a | = | b |
∴AB ·BC=（a+b）·（a-b）
= a 2- b 2=| a | 2 - | b | 2=0
∴AB⊥BC
∴ ∠ABC=900
即直径所对圆周角为直角
四、巩固练习 1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b<0, a·b=0时，
△ABC各是什么样的图形？
2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b，
( a + b )2，| a + b |
3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a ·b = a ·c的充要
条件是a⊥（b - c）
4、若b =（1，1）且a ·b =0，（a – b）2=3，求向量a的模
5、证明： （λ a ）· b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）
制作人：杨亚 江苏省宿豫中学课件16张PPT。天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水。欢迎光临,欢迎指导！成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。平面向量的数量积汪海贵制作于2002年11月复习目标：1、掌握向量数量积定义，几何意义，坐标表示及其 在物理学上的应用。3、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直等问题。2、掌握平面两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示
的充要条件。一、知识复习1、数量积的定义：数量积的坐标公式：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 2、数量积的几何意义：3、数量积的物理意义：4、数量积的主要性质及其坐标表示：内积为零是判定两向量垂直的充要条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角这就是平面内两点间的距离公式5、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律二、基础训练题A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个DB⑵A．-1 B.0 C.1 D.2
（A）三、典型例题分析进行向量数量积
计算时,既要考
虑向量的模,又
要根据两个向量
方向确定其夹角。两个向量的数量积是否
为零,是判断相应的两条
直线是否垂直的重要方
法之一.2．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际问题.1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
四、能力训练再见！再见！再见！课件21张PPT。平面向量的数量积及运算律（第一课时）南昌市外国语学校
程绍烘
平面向量的数量积及运算律一、教学目标 （1）知识目标： （2）能力目标： （3）情感目标： （1）理解向量数量积的定义；
（2）理解向量b在a方向上的投影的意义；
（3）掌握向量数量积的性质，并会初步运用解决有关长度、角度和垂直问题；掌握向量垂直的充要条件。 体会分类思想、数形结合思想；培养学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。 激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立理论
来源于实践又反作用于实践的辨证唯物主义的观点。 二、教材分析１．教材的内容、地位和作用 本课时的内容是平面向量的数量积，向量数量积的几何意义及性质；本课时内容是教材新增内容，有着广泛应用。它是继向量的加、减法，实数与向量的积等运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础（如两点间距离公式，正、余弦定理，点到直线的距离等），起承上启下的作用。 因为向量的数量积是一种新的运算，要准确理解其意义，两个非零向量垂直的充要条件是判断向量垂直的工具，有较强的应用价值；向量数量积是不同于数的运算的一种新的运算，学生不易理解和接受，在处理起点不在同一点的向量夹角时容易遇到障碍；夹角是学习向量数量积的定义及几何意义的基础。根据上述分析，确定本节课的2．教学重点、难点、关键 二、教材分析 重点是：平面向量数量积的定义、几何意义、性质及两个非零向量垂直的充要条件； 难点是：向量数量积概念建立和起点不在同一点的
向量夹角； 关键是：夹角概念的正确理解。 三、学生分析任意角的三角函数、物理学中力做功的知识为学生学习本节课内容扫清了知识上的障碍；学习本节内容过程中可能出现的思维障碍是：数量积的运算公式的理解及不在同一起点的两向量的夹角。四、教法、学法分析 考虑到学生已学过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识，及教材内容的特点，为突破难点，在教学上，我着重以目标教学法为主，综合运用过程教学及分层教学的方法（创设情境、激发思维---展示目标、引导探究---达到目标 、发展思维---变式训练、强化目标 ---归纳小结、深化目标 ）。 贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维
为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思”
的八字方针1.教学方法 四、教法、学法分析 2．教学手段 根据本节内容特点，为了更好地突出重点，
突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，利
用多媒体辅助手段。 五、教学过程设计五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 五、教学过程设计（1）向量a与b夹角∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做
向量a与b的夹角 （2）向量a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b= |a||b|cosθ强调两点：①a·b是一个数量，而不是一个向量；
②符号“·”不能写成“×”也不能省略不写。θ五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 （3）引导学生探究平面向量数量积的物理意义。 （4）向量b在a方向上的投影引导学生对θ分类讨论，得出向量b在a方向上的投影的
符号。强调投影是一个数量，而不是几何量。θθθ五、教学过程设计【尝试探索、建立新知】 （5）引导学生探究平面向量数量积的几何意义：数量
积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos的乘积。（6）向量数量积的性质。①e·a=a·e=|a| cosθ.⑤|a·b|≤|a||b| ④五、教学过程设计【例题示范、学会应用】 【变式训练、巩固提高】 1．P119 2，3，4。 五、教学过程设计4。设|a|=8,e是单位向量，当它们的夹角为600时，a在e方向上的投影是______. 2．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面结论正确的是（ ）
A．|e1·e2|=1 B．e1·e2=1
C．e1·e2=-1 D．|e1·e2|〈1①平面向量的数量积及其性质；
②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；
③会用数量积的运算解决几何中线、线位置关系、距离、角度等问题和物理学中的力做功等问题；
④体会分类讨论、数形结合的思想。五、教学过程设计【归纳小结 延伸提高】P119 3，6
研究性题：已知 ABC中， = c, =b, = a,试用向量数量积的形式添加一个条件，使得 ABC为锐角三角形。 五、教学过程设计习题3 巩固数量积的运算，习题6 理解向量b在a方向上的投影的意义 研究数量积的应用 【分层作业 巩固创新】板书设计五、教学过程设计谢谢指导例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为=1200，求a·b。
例2 在三角形ABC中，已知且，试判断这个三角形的形状。
五、教学过程设计课件8张PPT。5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律问题5.6 平面向量的数量积及运算律向量的夹角5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．5.6 平面向量的数量积及运算律例题讲解解： a ·b =|a | |b |cosθ5.6 平面向量的数量积及运算律| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．θ为锐角时，
| b | cosθ＞0θ为钝角时，
| b | cosθ＜0θ为直角时，
| b | cosθ=05.6 平面向量的数量积及运算律讨论总结性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （5）a · b ≤| a | · | b |5.6 平面向量的数量积及运算律练习：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．√×××××√
