课件12张PPT。平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.1.1 向量的物理背景与概念向量：既有大小，又有方向的量。
数量：只有大小，没有方向的量。思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?
2.1.2 向量的表示 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。 对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三个要素：起点、方向、长度A（起点）B（终点）2.1.2 向量的表示1、向量的几何表示：用有向线段表示。2.1.2 向量的表示思考: “向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说法对吗?
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） ××2.向量的模是一个正实数。（ ）×注:向量不能比较大小2.1.2 向量的表示长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，
但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量 ， ， ＞ ，或 ＜ ”这种说法是错误的. 平行向量又叫做共线向量各向量的终点与直线l之间有什么关系？2.1.3 相等向量与共线向量向量相等 向量平行平行向量一定是相等向量吗?2.1.3 相等向量与共线向量11个2.1.3 相等向量与共线向量习题讲解 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
?
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；
?
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。(×)(×)(×)(×)2.下面几个命题： C A．0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是( )
习题讲解归纳小结课件15张PPT。 由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少?上海台北香港向量的加法2.2.1向量的加法普通高中课程标准实验教科书（必修4）数学第二章第二节 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。首尾顺次相连两种特例(两向量平行)方向相同方向相反向量加法的运算律交换律：结合律：想一想1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?2.零向量和任一向量 的和为什么?3. ≦≦何时取得等号?向量和的特点：（1）两个向量的和仍是一个向量．（2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且
|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且
|a+b|=|b|-|a|． 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义１.化简练一练练一练（2）（3）（4）（1）OABC向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则共 起 点练一练如图,已知 用向量加法的平行四边形法则作出 （1）（2）共 起 点数学应用2.2.1 向量的加法运算及其几何意义例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留 两个有效数字）
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用江水书牍间的夹角表示，精确到度）ADCB课后思考课堂小结：课件22张PPT。 2.2.2向量的减法1、向量加法的三角形法则注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.温故知新2、向量加法的平行四边形法则注意起点相同.共线向量不适用
走进新课已知：两个力的合力为求：另一个力 其中一个力为减去一个向量等于加上这个向量的相反向量说明：
１、与 长度相等、方向相反的向量，
叫做 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量的和是零向量练习CD二、向量减法的三角形法则OAB. 注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同
2、差向量的终点指向被减向量的终点向量的减法?特殊情况1.共线同向2.共线反向C例１：如图，已知向量a,b,c,d,
求作向量a-b,c-d.abcdOABCD例2：选择题DC例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB。ADBCab注意向量的方向，向量AC=a+b,向量DB=a-b练习1
（1）（2）（3）（4）练习2Come on! (一)知识
1．理解相反向量的概念
2. 理解向量减法的定义，
3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
小结: (二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则作业:
P101 3. 4(1).(3).(5).(7)O`O`return数学使人聪颖
数学使人严谨??
数学使人深刻?
? ? 数学使人缜密???
数学使人坚毅?
?? 数学使人智慧???课件19张PPT。２.２.３向量的数乘运算向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.作法:在平面中任取
一点O,o 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习向量的加法(平行四边形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.作法:在平面中任取一点O,过O作OA= a过O作OB= bb以OA,OB为边作
平行四边形则对角线
OC= a+b 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.b作法:在平面中任取一点o,过O作OA= a过O作OB= b则BA= a-b 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习相同向量相加以后，
和的长度与方向有什么变化？ 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习= 例1 计算：
(1) (-3)×4a
(2) 3(a+b) –2(a-b)-a
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c)-12a5b-a+5b-2c 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意的向量 以及任意实数 恒有共线向量的条件：对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ问题1：如果 b=λa ,
那么，向量a与b是否共线？问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？定理：向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有且只有一个实数λ，使得 b=λa 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习定理： 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有且只有一个实数λ，使得 b=λa 练习1：设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线。，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线2、设e1，e2是两个不共线向量，已知
AB=2e1+re2，CB=e1+3e2，若A，B，
C三点共线，求r的值.作业布置：课本 :
P101 第 9题（3）（4）
P102 第 4题
复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习练习题： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。 复 习例题讲解小结回顾引入练习
新课讲解定理讲解课堂练习课件14张PPT。2.3 平面向量的坐标表示与运算2.3 平面向量的坐标表示与运算2.3 平面向量的坐标表示与运算2.3 平面向量的坐标表示与运算2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1．在平面内有点A和点B，向量怎样 表示？2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ 1 00 10 02.3.2 平面向量的坐标表示由a 唯一确定2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？两者相同概念理解3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2.3.2 平面向量的坐标表示解：由图可知同理，2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a ， b ，求a+b，a-b．解：a+b=( i + j ) + ( i + j )=（ + )i+（ + )j两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差2.3.3平面向量的坐标运算解： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相
应坐标．2.3.3 平面向量的坐标运算 例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）
=（6，3）+（-12，16）
=（-6，19）2.3.3 平面向量的坐标运算 例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）2.3.4平面向量共线的坐标表示如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
会得到什么样的重要结论?向量 与非零向量 平行(共线)的充要条件是有且
只有一个实数 , 使得设
即 中,至少有一个不为0 ,则由 得这就是说: 的充要条件是
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:2.3.4 平面向量共线的坐标表示例 题已知已知
求证: A、B、C 三点共线。若向量 与 共线且
方向相同, 求 x.2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件19张PPT。平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向
量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反； 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
OBAθ向量的夹角 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。定
义 |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。思考：a·b=|a| |b| cosθ当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。重要性质:特别地解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2a·b的几何意义：练习：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．7．对任意向量 a 有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：注： 则
(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律(3)例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.解:作业：3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。解：设
则 ，
由此可得：即 ，∠ACB=90°
