苏教版（2019）高中数学必修第二册 第10章_10.1.1_两角和与差的余弦_课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
10.1.1两角和与差的余弦
第十章 10.1 两角和与差的三角函数
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式
的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值.
学习目标
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　两角差的余弦
cos(α－β)＝ .(C(α－β))
cos αcos β＋sin αsin β
知识梳理
知识点二　两角和的余弦
cos(α＋β)＝ .(C(α＋β))
特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体.
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式.
cos αcos β－sin αsin β
知识梳理
1.任意角α，β，均有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　)
2.任意角α，β，均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
√
×
√
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
一、给角求值
例1　计算：
(1)cos(－15°)；
解　方法一　原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
题型探究
(2)cos 105°；
解　cos 105°＝－cos 75°
＝－cos(45°＋30°)
＝－(cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°)
解　原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
(3)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
题型探究
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则.如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式.
反思感悟
跟踪训练1　cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°的值是
√
解析　cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°
＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°
题型探究
二、给值求值
题型探究
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
题型探究
延伸探究
题型探究
∴0＜α－β＜π.
题型探究
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
题型探究
(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角.
(2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
反思感悟
题型探究
所以cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
题型探究
三、给值求角
题型探究
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
题型探究
题型探究
求解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
反思感悟
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
题型探究
3
随堂演练
PART THREE
1.cos 75°的值是 .
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随堂演练
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2.若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝ .
解析　a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
随堂演练
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随堂演练
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随堂演练
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解析　由两角和与差的余弦公式得，
随堂演练
1.知识清单：
(1)两角和与差的余弦公式.
(2)已知三角函数值求值和求角.
2.方法归纳：换元法、转化与化归.
3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错.
课堂小结
4
课时对点练
PART FOUR
1.cos 165°等于
√
解析　cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°
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基础巩固
2.cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为
√
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解析　原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°
＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)
基础巩固
解析　由向量平行可得sin αsin β－cos αcos β＝0，
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6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为 .
解析　sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°
＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°
基础巩固
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8.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝ .
解析　∵cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝cos[(α－β)－α]＝m，即cos β＝m.
又∵β为第三象限角，
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9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
基础巩固
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(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
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基础巩固
所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
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∴A为锐角.
∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B
综合运用
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综合运用
13.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝
(3cos B,3sin B).若a，b的夹角的弧度数为 ，则A－B＝ .
＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B).
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综合运用
15.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值
是 .
解析　sin α＋sin β＝－sin γ， ①
cos α＋cos β＝－cos γ， ②
①2＋②2得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
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所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
所以cos(α＋β)＝0.
拓广探究