苏教版（2019）高中数学必修第二册 第10章_10.1.3_两角和与差的正切_课件(共62张PPT)

(共62张PPT)
10.1.3 两角和与差的正切
第十章 10.1 两角和与差的三角函数
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
学习目标
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切公式 tan(α＋β) ＝ ____________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋
两角差的正切公式 tan(α－β) ＝ ____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋
知识点　两角和与差的正切公式
知识梳理
1.tan 105°的值为________.
－3
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
一、给角求值
例1　化简求值：
题型探究
题型探究
题型探究
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
反思感悟
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
反思感悟
跟踪训练1　化简求值：
题型探究
＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°
＝1.
题型探究
二、给值求值(角)
题型探究
题型探究
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
题型探究
题型探究
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
反思感悟
求：(1)tan(α－β)的值；
题型探究
(2)角α＋β的值.
题型探究
三、两角和与差的正切公式的综合应用
题型探究
证明　因为tan α＝2，
所以左边＝右边，所以原等式成立.
题型探究
(2)如图所示，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
题型探究
解　如图所示，作AE⊥CD于点E，
因为AB∥CD，AB＝9 m，CD＝15 m，
所以DE＝9 m，EC＝6 m，
设AE＝x，∠CAE＝α，
因为∠CAD＝45°，所以∠DAE＝45°－α，
题型探究
化简，得x2－15x－54＝0，
解得x＝18，x＝－3(舍去).
答　建筑物AB和CD的底部之间的距离BD等于18 m.
题型探究
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
反思感悟
跟踪训练3　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.
题型探究
解　由AB＋BP＝PD，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
题型探究
左边＝tan Atan B＋tan A＋tan B
＝tan Atan B＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan Atan B＋1－tan Atan B
＝1.
∴原等式成立.
题型探究
3
随堂演练
PART THREE
1.tan 255°等于
√
解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
1
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随堂演练
1
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2.若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于
√
随堂演练
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随堂演练
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1
随堂演练
1
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＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°
随堂演练
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
课堂小结
4
课时对点练
PART FOUR
A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21°
√
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＝tan 24°.
基础巩固
2.已知tan α，tan β是方程x2－2x－3＝0的两个根，则tan(α＋β)等于
√
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解析　由题意知，tan α＋tan β＝2，tan αtan β＝－3，
基础巩固
√
√
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基础巩固
√
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4.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于
解析　∵28°＋32°＝60°，
基础巩固
√
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∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，
∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β
＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
基础巩固
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又0°<α<90°，90°<β<180°，
所以－180°<α－β<0°，
所以α－β＝－45°.
－7
－45°
基础巩固
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基础巩固
(1)求tan α的值；
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又01
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又01
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由①②及A＋B＋C＝π，
∴△ABC为等腰三角形.
基础巩固
11.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为
A.16 B.8 C.4 D.2
√
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解析　由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
综合运用
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√
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解析　由公式变形得
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C.
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
综合运用
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综合运用
则tan α＝2，
因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
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综合运用
15.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为____.
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拓广探究
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设方程的两根为x1，x2，
拓广探究