苏教版（2019）高中数学必修第二册 10.1.1_两角差的余弦公式_练习（解析版）

10.1.1 两角差的余弦公式
一、选择题
1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A.sin 2x B.cos 2x
2.cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为(　　)
A. B.－
3.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是(　　)
A.－ B.
C.－ D.－
4.已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)
A.－ B.±
C.－1 D.±1
5.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
二、填空题
6.化简－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________.
7.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________.
8.化简＝________.
三、解答题
9.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β).
10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标标分别为，.求cos(α－β)的值.
11.已知角α的终边过点P(－4，3).
(1)求的值；
(2)若β为第三象限角，且tan β＝，求cos(α－β)的值.
12.已知α，β为锐角且＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值.
10.1.1 两角差的余弦公式答案
一、选择题
1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A.sin 2x B.cos 2x
C.－cos 2x D.－cos 2y
【解析】　原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选D.
【答案】　D
2.cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
【解析】　原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°＝cos 65°·cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.
【答案】　A
3.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是(　　)
A.－ B.
C.－ D.－
【解析】　由条件可得sin α＝，cos β＝，则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝×(－)＋(－)×＝－.
【答案】　C
4.已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)
A.－ B.±
C.－1 D.±1
【解析】　∵cos＝cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝－.∴cos x＋cos＝cos x＋cos x·cos＋sin xsin＝cos x＋sin x
＝＝－×＝－1，故选C.
【答案】　C
5.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
【解析】　∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.故选A.
【答案】　A
二、填空题
6.化简－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________.
【解析】　原式＝－cos 50°cos (90°＋39°)＋cos 40°cos 39°＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39°＝cos 40°cos 39°＋sin 40°sin 39°＝cos(40°－39°)＝cos 1°.
【答案】　cos 1°
7.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________.
【解析】　由条件得sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝×＋×＝，
又α－β∈(－，)，∴α－β＝±，
又因为cos α>cos β，α，β均为锐角，
所以α<β，则α－β＝－.
【答案】　－
8.化简＝________.
【解析】　原式＝
＝＝.
【答案】　
三、解答题
9.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β).
解　由cos α－cos β＝两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，∴cos(α－β)＝.
10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标标分别为，.求cos(α－β)的值.
解　依题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
11.已知角α的终边过点P(－4，3).
(1)求的值；
(2)若β为第三象限角，且tan β＝，求cos(α－β)的值.
解　(1)因为角α的终边过点P(－4，3)，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以＝＝＝－.
(2)因为β为第三象限角，且tan β＝，
所以sin β＝－，cos β＝－.
由(1)，知sin α＝，cos α＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝0.
12.已知α，β为锐角且＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值.
解　(1)∵＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
2 / 6