10.1.1 两角差的余弦公式
一、选择题
1.化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为( )
A.sin 2x B.cos 2x
2.cos 295°sin 70°-sin 115°cos 110°的值为( )
A. B.-
3.已知cos α=-,α∈,sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
A.- B.
C.- D.-
4.已知cos=-,则cos x+cos=( )
A.- B.±
C.-1 D.±1
5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A. B.-
C. D.-
二、填空题
6.化简-cos(-50°)cos 129°+cos 400°cos 39°=________.
7.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,则α-β=________.
8.化简=________.
三、解答题
9.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β).
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标标分别为,.求cos(α-β)的值.
11.已知角α的终边过点P(-4,3).
(1)求的值;
(2)若β为第三象限角,且tan β=,求cos(α-β)的值.
12.已知α,β为锐角且=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
10.1.1 两角差的余弦公式答案
一、选择题
1.化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为( )
A.sin 2x B.cos 2x
C.-cos 2x D.-cos 2y
【解析】 原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos 2y,故选D.
【答案】 D
2.cos 295°sin 70°-sin 115°cos 110°的值为( )
A. B.-
C. D.-
【解析】 原式=-cos 115°cos 20°+sin 115°sin 20°=cos 65°·cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°-20°)=cos 45°=.
【答案】 A
3.已知cos α=-,α∈,sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
A.- B.
C.- D.-
【解析】 由条件可得sin α=,cos β=,则cos(β-α)=cos βcos α+sin αsin β=×(-)+(-)×=-.
【答案】 C
4.已知cos=-,则cos x+cos=( )
A.- B.±
C.-1 D.±1
【解析】 ∵cos=cos xcos+sin xsin=cos x+sin x=-.∴cos x+cos=cos x+cos x·cos+sin xsin=cos x+sin x
==-×=-1,故选C.
【答案】 C
5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A. B.-
C. D.-
【解析】 ∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=,∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.故选A.
【答案】 A
二、填空题
6.化简-cos(-50°)cos 129°+cos 400°cos 39°=________.
【解析】 原式=-cos 50°cos (90°+39°)+cos 40°cos 39°=-sin 40°(-sin 39°)+cos 40°cos 39°=cos 40°cos 39°+sin 40°sin 39°=cos(40°-39°)=cos 1°.
【答案】 cos 1°
7.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,则α-β=________.
【解析】 由条件得sin α=,sin β=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsinβ=×+×=,
又α-β∈(-,),∴α-β=±,
又因为cos α>cos β,α,β均为锐角,
所以α<β,则α-β=-.
【答案】 -
8.化简=________.
【解析】 原式=
==.
【答案】
三、解答题
9.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β).
解 由cos α-cos β=两边平方得
(cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=.①
由sin α-sin β=-两边平方得
(sin α-sin β)2=sin2α+sin2β-2sin αsin β=.②
①+②得
2-2(cos αcos β+sin αsin β)=.
∴cos αcos β+sin αsin β=,∴cos(α-β)=.
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标标分别为,.求cos(α-β)的值.
解 依题意,得cos α=,cos β=.
因为α,β为锐角,所以sin α=,sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
11.已知角α的终边过点P(-4,3).
(1)求的值;
(2)若β为第三象限角,且tan β=,求cos(α-β)的值.
解 (1)因为角α的终边过点P(-4,3),
所以sin α=,cos α=-,
所以===-.
(2)因为β为第三象限角,且tan β=,
所以sin β=-,cos β=-.
由(1),知sin α=,cos α=-,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=0.
12.已知α,β为锐角且=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
解 (1)∵=,
∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=,∴cos(α-β)=.
(2)∵cos α=,cos(α-β)=,α,β为锐角,
∴sin α=,sin(α-β)=±.
当sin(α-β)=时,cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.
当sin(α-β)=-时,
cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0.
∵β为锐角,∴cos β=.
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