苏教版（2019）高中数学必修第二册 10.1.2_两角和与差的正弦、余弦公式_练习（解析版）

10.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
一、选择题
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A.－ B.－
2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
3.函数f(x)＝cos－cos是(　　)
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)
A.1 B.－1
C.0 D.±1
5.若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
6.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β＝________.
7.求值：cos－sin＝________.
8.化简：＝________.
三、解答题
9.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值.
10.若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，求cos的值.
11.求f(x)＝cos x＋cos(x＋)，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间.
12.已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
10.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式答案
一、选择题
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A.－ B.－
C. D.
【解析】原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.
【答案】　B
2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
【解析】　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.
【答案】　D
3.函数f(x)＝cos－cos是(　　)
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
【解析】　因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sin x，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.
又f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.
【答案】　D
4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)
A.1 B.－1
C.0 D.±1
【解析】　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.
【答案】　C
5.若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，
∴0<α＋β<，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
【答案】　C
二、填空题
6.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β＝________.
【解析】　由已知得cos(α＋β)＝0，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.
【答案】　±1
7.求值：cos－sin＝________.
【解析】　原式＝
＝
＝sin＝sin＝.
【答案】　
8.化简：＝________.
【解析】　原式＝
＝＝1.
【答案】　1
三、解答题
9.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值.
解　因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×(－)＋×(－)＝－.
10.若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，求cos的值.
解　∵cos＝－，∴cos＝.
∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
又cos＝，∴sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
11.求f(x)＝cos x＋cos(x＋)，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间.
解　f(x)＝cos x＋cos xcos－sin xsin＝cos x－sin x＝(cos x－sin x)＝cos(x＋).
(1)T＝2π.
(2)由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，－＋2kπ](k∈Z).
12.已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解　(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴Asin＝，即Asin＝，∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∵f(θ)－f(－θ)＝，
∴3sin－3sin＝，
展开得3－3＝，化简得sin θ＝.
∵θ∈，∴cos θ＝.
f＝3sin ＝3sin＝3cos θ＝.
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