苏教版（2019）高中数学必修第二册 10.1.3_两角和与差的正切公式_练习（解析版）

10.1.3 两角和与差的正切公式
一、选择题
1.若tan＝2，则tan α的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为
(　　)
A.1 B.2
C.－2 D.不确定
3.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
4.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)＝(　　)
A. B.
C. D.
5.下列式子结果为的是(　　)
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·cos 65°)；③；④.
A.①② B.③
C.①②③ D.②③④
二、填空题
6.已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
7.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.
8.已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
三、解答题
9.已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.
10.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值.
11.已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值.
12.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
10.1.3 两角和与差的正切公式答案
一、选择题
1.若tan＝2，则tan α的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
【解析】　tan(α＋)＝＝2，
解得tan α＝.
【答案】　A
2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为
(　　)
A.1 B.2
C.－2 D.不确定
【解析】　(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
【答案】　B
3.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
【解析】　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角.
【答案】　A
4.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　tan＝tan＝＝，故选C.
【答案】　C
5.下列式子结果为的是(　　)
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·cos 65°)；③；④.
A.①② B.③
C.①②③ D.②③④
【解析】　对于①利用正切的变形公式可得原式＝；对于②原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.
对于③原式＝＝tan 60°＝.
对于④原式＝＝，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6.已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
【解析】　tan＝tan[(α－)＋(β－)]＝＝.
【答案】　
7.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.
【解析】　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵0【答案】　
8.已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】　由条件知＝＝3，则tan α＝2.
因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
【答案】　
三、解答题
9.已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.
解　由已知有
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3.
10.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值.
解　∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
又∵0<α<，π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
11.已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值.
解　因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，所以tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－＝－.
12.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
解　∵tan(α－β)＝，tan β＝－，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1.
∵α∈(0，π)，∴0<α<，0<2α<.
又tan β＝－<0，β∈(0，π)，
∴<β<π，∴－π<2α－β<0.
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1，
∴2α－β＝－.
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