苏教版（2019）高中数学必修第一册 5.2 函数的表示方法（解析版）

5.2函数的表示方法
教材知识梳理
函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
函数三种表示法的优缺点比较：
求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
例题研究
求函数的解析式
题型探究
例题1
已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
例题2
如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
已知是一次函数，且，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
训练2
设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、分段函数的实际应用
题型探究
例题1
已知，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例题2
函数的值域是（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
跟踪训练
训练1
设则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
训练2
设定义在R上的函数，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数为的“p界函数”.关于函数的2界函数，结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、函数三种表示法
题型探究
例题1
某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2
已知函数，用列表法表示如下：
x 0 1 2
y 1 0 2
则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
跟踪训练
训练1
已知函数满足，则
A． B．
C． D．
训练2
如图，矩形的面积为，反比例函数的图像的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
综合式测试
一、单选题
1．已知函数，若，且，则下列判断正确的个数为（ ）
①； ②；
③； ④.
A． B． C． D．
2．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
3．已知函数，则方程的实根的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ,则的最值是(　　)
A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为，无最小值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值
6．已知函数f(x)＝ (a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A． B． C．1 D．2
7．已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范围是
A．[–4，2） B．[–4，2] C．（0，2] D．（–4，2]
8．已知函数则（ ）
A．的最大值为，最小值为 B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为，最小值为
二、填空题
9．设函数对于所有的正实数，均有，且，则使得的最小的正实数的值为____．
10．已知函数有最小值，则的取值范围为__________．
11．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
12．定义在上函数满足，且当时，.若当x∈时，，则的最小值等于________．
三、解答题
13．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知；
（3）已知等式对一切实数 都成立，且；
（4）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立
14．若函数f(x)，满足对于任意的，都有成立，g(x)=.
（1）求b的取值范围；
（2）当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式.
15．已知函数的解析式为，
（1）求 ;
（2）若，求的值;
（3）画出的图象，并求出函数的值域;
5.2函数的表示方法答案
教材知识梳理
函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
函数三种表示法的优缺点比较：
求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
例题研究
一、求函数的解析式
题型探究
例题1
已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构造方程组的方法，解出的解析式．
【详解】
由，可得 ①
又②，
得：，解得
故选：A
【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．
例题2
如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．
【详解】
当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．
跟踪训练
训练1
已知是一次函数，且，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，（），利用两边恒等求出即可得结果．
【详解】
设，（）
∴，
即，
所以，解得，，
∴，故选B．
【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
训练2
设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
二、分段函数的实际应用
题型探究
例题1
已知，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先画函数的图象，再根据函数的图象与的图象关于轴对称，即可选出正确选项.
【详解】
先画函数的图象，如下图：
因为函数的图象与的图象关于轴对称，只有A选项的图象符合.
故选：A.
【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.
例题2
函数的值域是（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
【答案】D
【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集.
【详解】
解：当时，，其值域为，
所以值域为[0，2]∪{3，2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}.
故选：D
【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.
跟踪训练
训练1
设则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，解出的值，作出两个函数的图像，当或时，据此可得此时函数的递增区间，当，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论.
【详解】
由得，解得或，
当或时，此时函数的递增区间为,
当，此时函数的递增区间为，
综上所述函数的递增区间为.
故选：D
【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题.
训练2
设定义在R上的函数，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数为的“p界函数”.关于函数的2界函数，结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得函数的“界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项.
【详解】
令，解得或，根据“界函数”的定义，有，
所以，，故A选项成立；
，，故B选项不成立；
，，故C选项成立；
，，故D选项成立.
故选：B.
【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于，或者函数值小于或等于，也就是先要求得函数值等于时对应的值，由此写出分段函数“界函数”.
三、函数三种表示法
题型探究
例题1
某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且随着的增大而减小，由此可作出判断.
【详解】
由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，
后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，
最后距离为，故符合要求的图象为D选项中的图象.
故选：D.
【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题.
例题2
已知函数，用列表法表示如下：
x 0 1 2
y 1 0 2
则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据表格中自变量x和函数值y的对应关系，代入数据，即可得答案.
【详解】
由表格可得：，所以，
所以
故选：D
跟踪训练
训练1
已知函数满足，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，代入解析式，通过解方程组即可求得的解析式，进而求得的值．
【详解】
由,
可得(2),
将(1)+(2)得:
,
故选C．
【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．
训练2
如图，矩形的面积为，反比例函数的图像的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可设矩形的长为、宽为，然后结合图像得出点的坐标为，最后根据点在反比例函数上即可得出结果.
【详解】
设矩形的长为，则矩形的宽为，
结合图形可知，点的坐标为，
因为点在反比例函数上，
所以，解得，，
故选：A.
【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.
综合式测试
一、单选题
1．已知函数，若，且，则下列判断正确的个数为（ ）
①； ②；
③； ④.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出的图象如图所示，令，由图可知当时，和都取得最大值，从而可求得最值，关于二次函数的对称轴对称，可得，由可得，化简可得
【详解】
解：令，即函数的图象与直线有4个不同的交点，的图象如图所示，由图可知，关于二次函数的对称轴对称，则，所以①正确；
当时，取得最大值，且此时，故，所以③正确；
因为，
所以，即，，所以，所以②正确；
因为当时，取得最大值，此时，解得，所以此时，所以④错误，
所以正确的有①②③，共3个，
故选：C
【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题
2．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】
解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或．
故选：．
【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3．已知函数，则方程的实根的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由可得，而由，可得，或，或，或，然后分别解这四个方程，可得答案
【详解】
解：当时，令，则，解得或，
当时，令，则，解得或，
因为，
所以，或，或，或，
由，得，此时，方程无解；
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，分别或；
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，
由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，
所以方程的实根的个数为6，
故选：B
【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由可得，从而可得，或，或，或，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
4．已知函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分和解方程，求出的值，然后分和解不等式，即可得出结果.
【详解】
当时，，方程无解；
当时，令，解得，合乎题意.
下面解不等式.
当时，令，得出，解得，此时，；
当时，令，解得，此时，.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.
5．已知 ,则的最值是(　　)
A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为，无最小值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值
【答案】B
【分析】根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.
【详解】
如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.
【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.
6．已知函数f(x)＝ (a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意，函数的解析式，可得，进而求解的值，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，
则，所以，故选A.
【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.
7．已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范围是
A．[–4，2） B．[–4，2] C．（0，2] D．（–4，2]
【答案】B
【解析】
∵f（x）≥–1，∴或，∴–4≤x≤0或08．已知函数则（ ）
A．的最大值为，最小值为 B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．
【详解】
在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．
由图象可知，当时，取得最大值，
所以由得或．
结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．
故选：．
【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力．
二、填空题
9．设函数对于所有的正实数，均有，且，则使得的最小的正实数的值为____．
【答案】416
【分析】由题可得，根据分情况讨论可求解.
【详解】
对于所有的正实数，均有，，
，
当时，，
，
，
当时，，当时，取得最小正值为556；
当时，，当时，取得最小正值为416，
综上，使得的最小的正实数的值为416.
故答案为：416.
【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出.
10．已知函数有最小值，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
函数有最小值，所以求出，则有，代入求出的取值范围.
【详解】
当时，的最小值为．
当时，要使存在最小值，必有，解得．
，．
故答案为：.
【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题.
易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；
（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.
11．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
【答案】
【分析】
根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.
【详解】
由解析式得大致图象如下图所示：
由图可知：当时且，则令，解得：，
，又，，
，
令，则，
，即.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
12．定义在上函数满足，且当时，.若当x∈时，，则的最小值等于________．
【答案】．
【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，当时，故，
当时，故，
可得在区间上，，
所以当时，，
作函数的图象，如图所示，
当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.
三、解答题
13．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知；
（3）已知等式对一切实数 都成立，且；
（4）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）.
【分析】
（1）设函数，结合等式，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）用配凑法根据,然后换元可得出函数的解析式，利用双勾函数求出的取值范围，即为函数的定义域；
（3）由已知令，则有且，化简即可求得结果；
（4）将代入等式得出，与原式列方程組解出函数的解析式.
【详解】
（1）设，则
所以解得：所以；
（2）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，
或
（3）因为对一切实数 都成立，且
令则，又因为
所以，即
（4）将代入等式得出，
联立，变形得：，
解得
【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.
14．若函数f(x)，满足对于任意的，都有成立，g(x)=.
（1）求b的取值范围；
（2）当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式.
【答案】（1）；（2）；.
【分析】
（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；
（2）先讨论的符号，再代入分段函数解析式中，即得的解析式；利用分段函数的解析式，直接代入的解析式，即得的解析式.
【详解】
解：（1）因为任意的，都有成立，故设任意的时，有，即分段函数在R上单调递增，
故当时，单调递增，即，即；
当时，单调递增，即对称轴，即；
且在临界点处，左边取值不大于右边取值，即，即 .
综上，b的取值范围是；
（2）当b=2时，，又，
故当时，即时，，
当时，即时，，
故；
当时，，则，
当时，，则，
故.
【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.
15．已知函数的解析式为，
（1）求 ;
（2）若，求的值;
（3）画出的图象，并求出函数的值域;
【答案】(1);(2) 或;(3)答案见解析，值域为;
【分析】
(1)先求出，进而可求出.
(2)按，，三种情况进行讨论，分别由列出关于的方程，进而可求出的值.
(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.
【详解】
(1)解：因为，所以，则.
(2)解：当时，，解得；当时，，
解得，不符合题意；当时，，解得，
综上所述，或.
(3)解：如图所示，当时，函数最大值为，无最小值，所以值域为.
【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.
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