广东省江门市棠下高级中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

棠下高级中学校2022-2023学年高二上学期期中考试
数学
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45° B. 135° C. 60° D. 120°
3.如图，在四面体OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A. B．
C． D．
4. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
5．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
7.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C．- D．
8.已知点P为圆：上任一点，点Q为
圆：上任一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.已知直线l的方程为，则（ ）
A.直线l在x轴上的截距为2 B.直线l在y轴上的截距为3
C.直线l的倾斜角为锐角 D.过原点O且与l垂直的直线方程为
10. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
11．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）
A．∥ α∥ β B．⊥ α⊥ β
C．∥ l∥ α D．⊥ l∥ α
12. 已知圆心为的圆与点，则（ ）
A. 圆的半径为2 B. 点在圆外
C. 点与圆上任一点距离的最大值为
D. 点与圆上任一点距离的最小值为
三、填空题（每小题5分,共4小题20分）
13. 对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_____.
14．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量，若，则的值为__________.
15．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
16．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________.
四、解答题（第17题10分,第18-22题各12分,共6小题70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(10分)
已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
18. （12分）
（1）直线：，圆，若直线与圆交于A、两点，求弦的长．
（2）过点作与圆相切的直线l，求直线l的方程
19. （12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
∠ BAD=60°， E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥ 平面C1DE；
（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．
20.（12分）已知圆：与圆：相交.
（1）求交点所在直线方程；
（2）若点P是圆C：上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值.
21．（12分）
已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
22. （12分）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ ABC=90°，AB=2DC=2BC，
E为AB的中点，沿DE将△ ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥ EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥ 平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
棠下高级中学校2022-2023学年高二上学期期中考试
参考答案
1. C【解析】由题设，则.故选：C
2. B解析：该直线的斜率为－1， ∴其倾斜角为135°，故选：B．
3.B解析：，
又，，，∴,故选：B．
4. C
解：圆，圆,，所以内切．故选C
5.C【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.故选：C.
6． B
【解析】如图所示：
因为，
所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，
7． D
直三棱柱中，，，为的中点．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
8． A 解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，，
所以的最小值为．故选：A
9. BCD解析：在中，令，得，所以A不正确；令，得，所以B正确；因为直线l的斜率，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；因为与l垂直的直线方程可设为，且直线过原点，所以，故D正确.故选BCD.
10. AC【详解】由椭圆的定义可得，可得，椭圆的离心率为，则，所以，.
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.故选：AC.
11．【答案】AB
【详解】解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），
则∥ α∥β，⊥ α⊥β，∥ l⊥α，⊥ l∥α或l α.
因此AB正确.故选：AB.
12. BCD
【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD
13. 【详解】化为，
方程表示过点斜率为的直线方程，所以直线过定点.故答案为:.
14． 4解：，，存在实属使得
，所以的值为4.
15． 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.故答案为：
16． 解：由题意所在的直线方程为：，即，因为圆的圆心，半径为，
所以，圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：
17.【答案】（1）（2）.
【详解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,所以,
所以线段的中线AD所在直线方程为即.
（2）由题得,所以AB边上的高所在直线方程为，
即.
18.【答案】（1）;（2）或
【小问1详解】
由题意知,圆心,圆心到直线：的距离，∴．
【小问2详解】
由题意，圆的圆心为，半径为1，∴在圆外，
当切线斜率不存在时，切线方程为，所以是其中一条切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，可得，
∴切线方程为.综上，切线方程为或.
19．（1）见解析（2）
【详解】（1）连接ME，BC , ∵ M，E分别为B1B，BC的中点 , ∴
又∵,∴A1DCB1是平行四边形
∴
∴
∴NDEM是平行四边形
∴NM∥DE
又NM平面C1DE
∴NM∥平面C1DE
(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz
则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）
设平面A1MD的法向量为
则
∴
解得
又
∴
∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.
20. 【答案】（1）；（2）最大值，最小值.
【详解】（1）由已知：圆：，圆：，
故交点所在直线的方程为：，
即，故交点所在直线的方程为.
（2）由圆C：知，圆心为，半径为1，
所以圆心到直线距离，
所以圆上点到直线的，.
21．【解析】（1）由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，
所以圆的方程为：
（2）当直线轴时，，
当直线有斜率时，设其方程为：，
联立直线与圆的方程，消元得，
设,则，，
由于点在圆外，所以，
因此，
综上，无论l的位置如何变化，，为定值.
22．解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.