岳阳教研联盟2021级高二期中联考联评
数 学
分值：150分 时量：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。并在答题卡相应位置贴上条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答(作图)，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合A={x|x>-3}B={x|x>3},则AU(C B)等于( )
A.R B.φ C.{x|-32.函数 在x=0处切线的斜率为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.经过P(2,3)向圆 x +y =4 作切线,切线方程为( )
A.5x-12y+26=0 B.13x-12y+10=0
C.5x-12y+26=0或x=2 D.13x-12y+10=0或x=2
数学试卷第1页，共6页
4.平行六面体 ABCD—A B C D 中,AB=BC=2, AA =1 ,∠A AB=∠BAD=∠A AD=60°则它的对角线AC 的长度为( )
5.已知函数 以下说法错误的是( )
A.f(x)是奇函数 B.f(x)在定义域上递增
c.f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞) D.f(x)没有零点
6.等比数列{}前n项和为 若 则数列 前n项和Tn的最小值为( )
A.-15 B.-20 C.-22 D.-25
7.△ABC中, 则 等于( )
8.已知直线l交抛物线C:y =4x于x轴异侧两点A，B，且 过O向AB作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程为( )
A.(x-3) +y =9
B.(x-3) +y =9(x≠0)
C.(x-3) +y =9(y,≠0)
D.(x-3) +y =9(x≠0)或(x+1) +y =1(x≠0)
二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分)
数学试卷第2页，共6页
9.已知数列 的前n项和 以下说法正确的是( )
A、数列 是等差数列 B.当且仅当n=6时， 取最小值
C.若 则m=9 D.若，则n的最小值为12
10.已知双曲线 的焦点为 F (-5,0),F (5,0),且F 到直线 的距离为4，则以下说法正确的是( )
A.双曲线的离心率为
B.若Q在双曲线上,且|QF |=7, 则| QF |=13或1
C.若过F 的直线交双曲线右支于A，B，则|AB|的最小值为
D.若M在双曲线上,且MF ⊥MF , 则ΔMF F 的面积为-9
11.七面体MN-ABCD中,ABCD为正方形且边长为2,MB,ND都与平面ABCD垂直,且MB=ND=h,则对这个多面体描述正确的是( )
D.当它有内切球时，h=4
12.已知函数f(x)=sin|x|+|cosx|,以下结论(正确的是( )
A.它是偶函数 B.它是周期为2π的周期函数
C.它的值域为 D.它在(-π，2π)这个区间有且只有2个零点
数学试卷第3页，共6页
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.复数z=a+i,z =b+4i(a,b∈R)，则b= .
14.已知 的最小值为 .
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(3+2x)=f(-1-2x)恒成立。当-1≤x<0时, 则f(2021.5)的值为
16.光线从P(2,0)出发,经x=4,y=x+1两直线反射后,仍返回到P点。则光线从P点出发回到P点所走的路程长度(即图中△PDE周长)为
四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知数列 的前n项和为 且满足 (1,a1=1
(1)求数列 的通项公式；
(2)-若数列 的前n项和为 求证：
数学试卷第4页，共6页
18.(本小题满分12分)一块土地形状为四边形ABCD，其中
(2)若E为AB中点，F在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度。
19.(本小题满分12分)已知直线l:y=kx(k>0)交圆C:x +(y-2) =2于A,B。
20.(本小题满分12分)某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人。为方便教学，将学生分为A，B两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人。某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示。
(1)根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差
数学试卷第5页，共6页
21.(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC交BD于O,且AB=4,∠BAD=60°,PO⊥底面ABCD
(1)若PO=4,E,F分别为PB,PA中点,求四面体F-AEC的体积;
22.(本小题满分12分)已知点A(3,1)在椭圆 上，且椭圆的焦距为
(1)求椭圆的方程；
(2)过A作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为P，Q，求PQ的斜率。
数学试卷第6页，共6页参考答案
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1.【答案】A
解：由于CRB ={x | x 3}，所以 A (CRB)=R，故选 A
2. 【答案】B
解： f `(x) = ex (sin x + cos x + cos x sin x) = 2ex cos x ， f `(0) = 2故选 B
3. 【答案】C
解：（1）直线 x=2 是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为 l : y 3 = k(x 2) ，由 O 到切线距离为
| 2k 3 | 5
d = = 2得 k = ，此时切线方程为5x 12y + 26 = 0
k 2 +1 12
综上本题答案为 C
4. 【答案】D
解:由于 AC1 = AB + BC +CC1 ，两边同时平方得：
| AC 21 | = 4+ 4+1+ 4+ 2+ 2 =17 ，所以对角线 AC1的长度为 17 ，故选 D
5. 【答案】B
解：由于 f ( x) = f (x) ，所以 f (x) 是奇函数，A 真；
由于 f (x) 在 x=0 没有定义，所以 B 假；
2 x
当 x 0时， f (x) = 1+ ，此时1 2 ( ,0)，故 f (x) ( , 1)。由对称性，当
1 2x
x 0时，f (x) (1,+ ) ，故 C 真；
1+ 2x 0恒成立，故 f (x) 没有零点，D 真。
综上，本题答案为 B
6. 【答案】A
3 S S
解 ： 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 则 q =
6 3 = 8 q = 2 ， 又
S3
7 1 1
S3 = a1 + 2a1 + 4a1 = 7a = a =
n 1
1 1 ，所以 an = 2 = 2
n 6
，bn = n 6，所以
32 32 32
b1 b2 ... b6 = 0 b7 ...，故当 n=5 或 6 时，Tn 取最小值，最小值为-15，故选 A
7. 【答案】D
1
解 ： 由 2BD = 3DC 2(AD AB) = 3(AC AD) AD = (2AB +3AC) ， 而
5
BC = AC AB ， 又 由 已 知 可 得 AB AC = 1 ， 所 以
1
AD BC = (2AB +3AC) (AC AB)
5
1 1 4
= ( 2 | AB |
2 +3 | AC |2 AB AC) = ( 8+3+1) = ，故选 D
5 5 5
8. 【答案】B
2
解 ： 设 直 线 l : x = my + t ， 将 它 与 抛 物 线 方 程 联 立 得 ： y 4my 4t = 0 。 设
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 y1y2 = 4t 。所以
( 2y y
OA OB = x x + y y 1 2
)
1 2 1 2 = + y1y
2
2 = t 4t =12 ，故 t=6 或-2
16
当 t=-2 时，A,B 位于 x 轴同侧，故舍去，所以 t=6
2 2
所以直线 l 经过定点 E(6,0)，由OD ⊥ AB可知 D 在以 OE 为直径的圆 (x 3) + y = 9（原
点除外）上。故选 B
二、选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9. 【答案】BCD
解： Sn的常数项不为 0，故数列{an}不是等差数列，A 假；
S = n2n 12n +1= (n 6)
2 35，所以当且仅当 n=6 时 Sn 取最小值，B 真；
2
若 S3 = Sm (m 3) ，则m 12m+ 27 = 0 ，故 m=9，C 真；
当 n 12时，Sn 0，而当n 12时，Sn 0，所以若 Sn 0，则 n 的最小值为 12，D 真。
所以本题答案为 BCD
10. 【答案】AC
b 5
解：由已知，c=5，F2到直线y = x的距离为 b=4，所以 a=3,离心率为e = ，A 真；
a 3
若 Q 在双曲线右支，则 | QF1 | 8，所以 Q 只能在双曲线左支，故 | QF2 |= 7+ 6 =13，B 假；
32
若过F2的直线交双曲线右支于 A,B，则|AB|的最小值为双曲线的通径，长为 ，C 真；
3
若 M 在双曲线上，且 MF1 ⊥ MF2 ，设 | MF1 |= m,| MF2 |= n ，不妨设 m>n ，则
1
m n = 6,m2 + n2 =100，则 mn=32，所以 MF1F2 的面积为 S = mn =16，D 假。
2
故本题答案为 AC
11. 【答案】ABD
解：以 ABCD 为底面作长方体 ABCD-PMQN，则这个长方体的外接球即为多面体 MN-ABCD 的
3
外接球，且当 h=1 时，外接球半径为 ，当 h=2 时外接球半径为 3
2 ，故 A,B 均为真命题；
设 E,F 分别为 MN,AC 中点。若这个多面体有内切球，则其球心 O 必在 EF 上，且半径为 r=1。
OP OE 1 h 1
设OP ⊥ AE垂足为 P，则由 = =AF AE 可得 2 可得 h=4，故 C 假 D 真 2 h + 2
综上，本题答案为 ABD。
12. 【答案】ACD
解：由于 f ( x) = f (x) ，所以它是偶函数，A 真；
7
由于 f ( ) = 2, f ( ) = 0,它们 不相等，所以它不是周期为2 的周期函数，B 假；
4 4
我们现在来考察这个函数在 x [0,2 ]内的情况。
3
当 x [0, ] [ ,2 ]时， f (x) = sin | x | + | cos x |= sin x + cos x = 2 sin(x + )
2 2 4
3
当 x [ , ]时， f (x) = sin | x | + | cos x |= sin x cos x = 2 sin(x )
2 2 4
我们分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
2
1
3 5 3 7 2 4 2 4 4 2 4
-1
由此可知函数值域为[ 1, 2]，C 为真；
又由于这个函数是偶函数，它在[ , ]没有零点，而在[ ,2 ]有 2 个零点，故 D 为真。
所以答案为 ACD
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 【答案】3
z = a + i, z2 = a2解： 1+ 2ai = b+ 4i(a,b R)，则 a=2,b=3.故答案为 3。
5
14. 【答案】
2
1 5
解： y = x + 在[2,+ ) 单调递增，当 x=2 时，y 取得最小值为
x 2
√2
15.【答案】 + 1
2
解：由 f (3+ 2x) = f ( 1 2x)可知 f (x) 的图象关于 x=1 对称，又 f (x) 是定义在 R 上的奇
函 数 ， 故 f (x) 是 周 期 T=4 的 周 期 函 数 ， 于 是
1
2
f (2021.5) = f (1.5) = f (0.5) = f ( 0.5) = 2 2 +1= +1
2
16. 【答案】 58
解：作 P 关于直线 x=4 的对称点 F(6,0)，再作 F 关于 y=x+1 的对称点 G(-1,7)，连接 PG 交直
线 y=x+1 于 E，连接 EF 交直线 X=4 于 D，则 PDE 各边即为光线所走的路线，其周长等于
线段 PG 的长度，即为 58 。或者作 P 关于直线 x=4 的对称点 F(6,0)，作 P 关于直线 y=x+1
的对称点 H(-1,3)，连接 FH 分别交直线 x=4,y=x+1 于 D,E，则 PDE 各边即为光线所走的路
线，其周长等于线段 FH 的长度，即为 58 。
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17.解：
（1）由已知，n 2时，2Sn 1 = nan 1 ，与已知条件作差得：2an = (n+1)an nan 1
a n
所以 n = ，
an 1 n 1 ...................................3 分
an an 1 a3 a2 n n 1 3 2所以an = ... a1 = ... 1= n
an 1 an 2 a2 a1 n 1 n 2 2 1 .............6 分
1 1 1 1 1
（2）设bn = = = ( )，故可得
anan+2 n(n + 2) 2 n n + 2
1 1 1 1 3
Tn = (1+ )
2 2 n+1 n + 2 4
...................................10 分
18.解：
（1）由已知得， AC ⊥ BC, B = 60 ,CD = 6
21 3 9 3
所以这个四边形的面积为 S = S ABC + S ADC = + =15 3
2 2
..........................6 分
21 3 15 3 21 3 9 3
（2）由于 S BCE = ，又 EF 将四边形面积平分，故 S FCE = =
4 2 4 4
3 5 2
设 ACD = ，则由正弦定理可得sin = , 所以cos = ,sin( + 30 ) =
2 7 2 7 7
1 9 3 9 9
设 CF=x，则 S FCE = 21xsin = 求得 x = ，所以CF =
2 4 4 4
.............................12 分
19.解：
设圆心 C 到直线 l 的距离为 d
3 6
（1）当 ACB = 60 时 ， d= r = ， 于 是
2 2
2 6 15
= k =
1+ k 2 2 3 ...................................6 分
1 2 2 2 2 d
2 + d 2
（2） S = | AB | d = 2 d d = (2 d )d =1
2 2
............................12 分
等号当且仅当 d=1 时成立，此时 COA = 30 ，直线 l 的倾斜角为60 ，k = 3 。
20.解：
（1）估计平均分为 x = 65 0.05+ 75 0.2+85 0.55+95 0.2 = 84
.............3 分
估计方差为
2
s1 = (65 84)
2 0.05+ (75 84)2 0.2+ (85 84)2 0.55+ (95 84)2 0.2 = 59
......6 分
84 200+ 69 800
z = = 84 0.2+ 69 0.8 = 72
（2） 1000 ...........8 分
设这 1000 名学生的成绩为 zi (i =1,2,3,...,1000)，其中前 200 个数据为 A 层次学生成绩。
2
2 1
1000 1 200 1000
s = (zi z)
2 = [ (zi x + x z) + (zi y + y z)
2 ]
1000 i=1 1000 i=1 i=201
1 200
2
= {[ (zi x)
2 + (x z) + 2(x z)(zi x)]+
1000 i=1
1000 2
+ [ (zi y)
2 + (y z) + 2(y z)(zi y)]}
i=201
200 1000 200
2 2
由 于 (zi x)
2 = 200s1 ， (zi y)
2 = 800s2 ， 2(x z)(zi x) = 0 ，
i=1 i=201 i=1
1000
2(y z)(zi y) = 0
i=201
2 2 2
所以， s = [s1 + (x z)
2 ] 0.2+ [s2 + (y z)
2 ] 0.8
= (59+144) 0.2+ (200+9) 0.8 = 207.8
...........12 分
21.解：
1 1 1 1 1 1 4
（1）VF AEC = VP AEC = V E APC = VB APC = VP ABC = S ABC PO = 3
2 2 4 4 4 3 3
.........6 分
（2）以 O 为原点，以 OB,OC,OP 为非负 x,y,z 轴建立空间直角坐标系。
则可得B(2,0,0),C(0,2 3,0), D( 2,0,0)，设P(0,0,h)
则 BC = ( 2,2 3,0), BP = ( 2,0,h)设平面 BCP 的法向量为n = (x, y, z)
则由n BC = 0,n BP = 0得 x + 3y = 0, 2x + hz = 0 ，取n = ( 3h,h,2 3)
同理，可取m = ( 3h, h, 2 3) 为平面 DCP 的法向量
由于DB = (4,0,0),m DB 0,n DB 0 ，所以m,n的夹角即为二面角 B-CP-D的平面角。
2h2 12 1
cos m,n = = h = 2 6 ，故PO = 2 6
4h2 +12 3
...........12 分
22.解：
2 2 2 9 1 2 2
（1）由已知，c = 2 2,a b = c = 8, + =1，可得a =12,b = 4
a2 b2
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1
12 4
..........4 分
（2） y = kx + t
法一：设直线 l 的方程为 并与椭圆方程联立得：
(1+3k 2 )x2 + 6ktx+3(t 2 4) = 0
6kt （3 t 2 4)
P(x x + x =1, y1),Q(x2 , y2 ) 1 2 x1x2 =
设 ，则 1+ 3k
2
， 1+ 3k
2
...........6 分
y
k 1
1 y2 1
AP + kAQ = 0 + = 0 (x1 3)(y2 1)+ (x2 3)(y1 1) = 0
由已知， ，则 x1 3 x2 3 ，从而
(x1 3)(kx2 + t 1)+ (x2 3)(kx1 + t 1) = 0
即
2kx1x2 + (t 1 3k)(x1 + x2 ) 6(t 1) = 0
整理得 ..........8 分
(3k 2 4k +1)+ t(k 1) = 0
将上述韦达定理关系式代入并整理得 ...........10 分
即 (k 1)(3k 1+ t) = 0，
若3k 1+ t = 0，则直线 l : y = kx+1 3k 经过 A 点，不符合题意，所以
k=1
即直线 l 的斜率为 1...........12 分
P(x1, y1),Q(x2 , y2 )
法二：由已知，设 AP,AQ 的斜率分别为 k,-k，设
y 1= k(x 3)
将 AP 的方程 与椭圆方程联立得
x2 +3(kx 3k +1)2 12 = 0
(1+3k 2 )x2 + 6k(1 3k)x +3(3k 1)2 12 = 0
。
3(3k 1)2 12 (3k 1)2 4
3x1 = x =2 1 2
由韦达定理可得 3k +1 ，所以 3k +1 。..........6 分
(3k +1)2 4
x2 = 2
同理可得 3k +1 ...........8 分
18k 2 6 12k
x1 + x2 = x1 x2 =
所以 3k
2 +1 ， 3k
2 +1
...........10 分
y y k(x 3) k(x 3) x + x 6k
kPQ =
2 1 = 2 1 = k 2 1 +
所以 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1
将上述关系式代入可得 k=1...........12 分
