广西壮族自治区2023年九年级中考数学一轮复习—一元二次方程 练习题（含解析）

广西壮族自治区2023年九年级中考数学一轮复习—一元二次方程 练习题
一、单选题
1．（2022·广西河池·中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
2．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
3．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4．（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
5．（2021·广西桂林·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16
6．（2021·广西贵港·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
8．（2021·广西玉林·中考真题）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广西河池·三模）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．（2022·广西·贺州市八步区教学研究室一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
11．（2022·广西玉林·一模）若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．-4
12．（2022·广西南宁·二模）某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（　　）
A．20（1+2x）＝36 B．20（1+x2）＝36
C．20（1+x） 2＝36 D．20（1+x）+20（1+x） 2＝36
13．（2021·广西梧州·一模）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
14．（2021·广西·马山县教研室一模）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
15．（2021·广西河池·二模）如图，在长为100 m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为 ( )
A．100×80－100x－80x=7644 B．(100－x)(80－x)＋x2=7644
C．(100－x)(80－x)=7644 D．100x＋80x－x2=7644
16．（2021·广西南宁·二模）今年某地区3月初感染新冠病毒确诊人数10人，通过社会各界的努力，5月初确诊人数减少至8人．设3月初至5月初该地区确诊人数的月平均下降率为，根据题意列方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
18．（2021·广西梧州·中考真题）关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___．
19．（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
20．（2022·广西梧州·二模）关于x的一元二次方程的其中一个根是x＝1，则m的值为______．
21．（2022·广西·融水苗族自治县教育科学研究室三模）某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是__．（用含x的代数式表示）
22．（2022·广西梧州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是__________．
23．（2021·广西柳州·一模）如果m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m＝_____．
24．（2021·广西崇左·三模）已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
25．（2021·广西贵港·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是______ ．
三、解答题
26．（2022·广西玉林·二模）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分为、，且，求的值．
27．（2022·广西北海·二模）解方程：．
28．（2022·广西·德保县教研室二模）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：如图的“冰墩墩”和“雪容融”．已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；
(1)请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
(2)某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月销售该“冰墩墩”的收入多少万元？
29．（2022·广西·上思县教育科学研究所一模）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reproduction number．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
(1)求德尔塔＋变异病毒的R0值；
(2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
30．（2022·广西贵港·二模）为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，公司有、两种型号的投影设备可供选择．
（1）该公司2020年年初每套型投影设备的售价为万元，经过连续两次降价，年底套售价为万元，求每套型投影设备平均下降率；
（2）2020年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司，两种型号的投影设备共套，采购专项经费总计不超过万元，采购合同规定：每套型投影设备价为万元，每套型投影设备售价为万元，则型投影设备最多可购多少套？
31．（2021·广西贺州·一模）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
（1）若每千克涨价元，则每天可售出多少千克？
（2）现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
32．（2021·广西百色·二模）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
参考答案：
1．A
【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
解：由题意可得，
，
故选：A．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
2．B
【解析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
3．B
【解析】根据判别式即可判断求解．
解：由题意可知：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
本题考察了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．A
【解析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
5．A
【解析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：16（1-x）2=9．
故选：A．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【解析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：．
故选：B．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．D
【解析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
整理得出：，
解得：，
故选：D．
本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，．
8．D
【解析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，
∴，解得：，
∴由韦达定理可得：，
∴只有D选项正确；
故选D．
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
9．D
【解析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
10．C
【解析】利用因式分解法求出已知方程的解．
x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选C．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．A
【解析】根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解.
解：方程的两个实数根为，
，，
；
故选A．
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
12．C
【解析】是增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元”，可得出方程．
解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，
依题意得20（1+x）2＝36．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
13．A
【解析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
14．B
【解析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
15．C
【解析】可以根据图形平移的规律，把阴影部分的分别平移到最边上，把剩下的面积变成一个新的长方形
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，把道路进行平移后找到等量关系．
16．C
【解析】根据题意可知等量关系为3月感染人数×(1-下降率)2=5月感染人数，再把相关数值代入即可．
根据题意可直接列出方程．
故选C．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2个月内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
17．，
【解析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
18．＜且.
【解析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
且＞
由＞
可得＜
＜
综上：＜且，
故答案为：＜且.
本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键.
19．
【解析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4 b，
∴
∴当b=2时，S有最大值为．
本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
20．
【解析】把x=1代入方程，然后解关于m的方程即可．
把x=1代入方程得：
整理得
解得
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．100（1+x）2．
【解析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，
解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，
故答案为：100（1+x）2．
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
22．a≤2
【解析】关于x的一元二次方程2x2+4x+a=0有实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
解：由题意，得Δ=42-4×2a≥0，
解得a≤2．
故答案是：a≤2．
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
23．6．
【解析】根据方程的解的定义即可求出答案．
解：由题意可知：，
∴，
∴，
故答案为：6．
本题考查一元二次方程的解，熟悉相关性质是解题的关键．
24．
【解析】由方程根的个数，结合根的判别式，即可得出k的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：∵一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是找出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
25．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数；（3）＜0 方程没有实数根．
26．(1)见解析；
(2)k=6或k=-2．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入，即可求出k的值．
（1）∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
∵，
∴，
∴，即，
解得：k=6或k=-2．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1 x2=．
27．，
【解析】方程左边通过提公因式，平方差公式因式分解，右边等于0，因式分解法解方程更简便．
解：方程左边因式分解得：，
，
或，
解得：，．
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．也可以用其它方法解．
28．(1)冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元
(2)159.72万元
【解析】（1）设冰墩墩每个的售价是x元，雪容融每个的售价是y元，根据题意得：，计算求解的值即可；
（2）设月平均增长率为a，则11月份的销售量为，12月份的销售量为，根据题意，得：，求出满足要求的值，根据，计算求解即可．
（1）
解：设冰墩墩每个的售价是x元，雪容融每个的售价是y元，根据题意得：，
解得，
所以，冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元．
（2）
解：设月平均增长率为a，则11月份的销售量为，12月份的销售量为，
根据题意，得：，
解得， （不合题意，舍去），
（万元），
所以，2022年1月销售该“冰墩墩”的收入为万元．
本题考查了二元一次方程组与一元二次方程组的应用．解题的关键在于根据题意列方程或方程组．
29．(1)德尔塔＋变异病毒的R0值为8
(2)全民接种率至少应该达到75%
【解析】（1）由已知列出方程，即可解得德尔塔变异病毒的值；
（2）根据已知列出不等式，即可解得答案．
(1)
解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得：（舍去），，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
(2)
解：设全民接种率至少应该达到，根据题意得：
，
令，则，
，解得，
即，
，
答：全民接种率至少应该达到．
本题考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，理解的意义，根据已知列方程（不等式）解决问题．
30．（1）；（2）型投影设备最多可购买套．
【解析】（1）该每套A型投影设备年平均下降率，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可；
（2）设A型投影设备可购买套，则B型投影设备可购买套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；
解：（1）依题意得，
则，
所以，
所以，（不合题意，舍去）．
答：每套型投影设备年平均下降率为．
（2）设型投影设备可购买套，则型投影设备可购买套，
依题意得：，
整理得，
解得，
即型投影设备最多可购买套．
本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用，读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式是解题的关键．
31．（1）若每千克涨价元，则每天可售出千克；（2）每千克应涨价元
【解析】（1）用原来的销量减去因涨价而导致的销量减少量即可得到现在每天的销售量；
（2）总盈利=每千克盈利×销售量，利用总利润为6080元得到方程后求解即可．
解：（1），
答：若每千克涨价元，则每天可售出千克．
（2）设每千克应涨价元，
根据题意得：，
解得，，
要使顾客得到实惠，
，
答：每千克应涨价元．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利元列出一元二次方程．
32．这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
【解析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m．
根据题意，得：
x（68+2﹣2x）＝600．
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝40＞32，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
本题考查了一元二次方程的应用，正确分析题目中的等量关系并列出方程是解题的关键．