山东省枣庄市重点中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省枣庄市重点中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 661.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-11 22:43:41 | ||
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文档简介
枣庄市重点中学2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自已的姓名 准考证号 考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.1
4.点，点在圆上，则的面积的最小值为（ ）
A. B.3 C.2 D.
5.已知空间三点，则到直线的距离为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
6.已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A.
B.或
C.
D.或
7.设是圆上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知直线与曲线有且只有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.点到直线的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是（ ）
A.已知向量，则存在向量可以与构成空间的一个基底
B.若两个不同平面的法向量分别是，且，则
C.已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D.已知，则向量在上的投影向量的模长是
11.若圆与圆的交点为则（ ）
A.公共弦所在直线方程为
B.线段中垂线方程为
C.在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
D.公共弦的长为
12.椭圆离心率为称为“黄金椭圆”.如图，分别为左右顶点，为上下顶点，分别为左右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A.
B.
C.四边形的内切圆过焦点
D.轴，且
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则以为邻边的平行四边形的面积是__________.
14.过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为__________.
15.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________.
16.已知椭圆是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
直线经过两直线和的交点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程.
18.（本题满分12分）
已知直线和圆.
（1）若直线交圆于两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.（本题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，，
（1）求证：；
（2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由.
20.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.
21.（本题满分12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小.
22.（本题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左顶点为，右顶点为，上顶点为，的内切圆的半径为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
枣庄市重点中学2022-2023学年高二上学期期中考试
数学答案
一、单选题
1-8ACCDBCBD
二、多项选择题
9.ABC 10.BCD 11.AC 12.BC
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17.解：（1），
由题意得直线方程为
（2）当直线的斜率不存在时，满足
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由，求得
所以直线为或.
18.解：（1）将圆化成标准方程：，
圆的圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
弦长；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即.
圆心到直线的距离为，
即，解之得.
此时切线方程为，化简得
综上所述，所求的直线方程为：或
19.解：（1），所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直
线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，所以，即
（2）若存在点使平面，则，
，
因为平面，所以存在实数，使成立，
则解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
20.解：（1）曲线与坐标轴的交点为，
由题意可设圆的圆心坐标为，解得，
圆的半径为，圆的方程为.
（2）设，联立方程组，
消去得到方程，
由已知得，判别式①，
由根与系数的关系得②，
由得.
又，所以可化为③，
将②代入③解得，经检验，满足①，即，
故.
21.解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，底面
，又平面.
所以两两垂直.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间
直角坐标系，如图.，
.
由题设.
所以，所以.
（2）设平面的法向量为，
所以，即.
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则.
当时，取最小值为，
此时取最大值为.
所以，此时.
22.（1）的内切圆的半径为，
整理得，
由设代入上式解得，
，椭圆的标准方程为
（2）设，则直线的方程为
由得
所以，解得，代入得，
所以
同理可得
则直线的斜率为，
所以直线的方程为：
整理得
故直线恒过定点，定点坐标为
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自已的姓名 准考证号 考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.1
4.点，点在圆上，则的面积的最小值为（ ）
A. B.3 C.2 D.
5.已知空间三点，则到直线的距离为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
6.已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A.
B.或
C.
D.或
7.设是圆上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知直线与曲线有且只有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.点到直线的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是（ ）
A.已知向量，则存在向量可以与构成空间的一个基底
B.若两个不同平面的法向量分别是，且，则
C.已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D.已知，则向量在上的投影向量的模长是
11.若圆与圆的交点为则（ ）
A.公共弦所在直线方程为
B.线段中垂线方程为
C.在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
D.公共弦的长为
12.椭圆离心率为称为“黄金椭圆”.如图，分别为左右顶点，为上下顶点，分别为左右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A.
B.
C.四边形的内切圆过焦点
D.轴，且
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则以为邻边的平行四边形的面积是__________.
14.过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为__________.
15.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________.
16.已知椭圆是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
直线经过两直线和的交点.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程.
18.（本题满分12分）
已知直线和圆.
（1）若直线交圆于两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
19.（本题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，，
（1）求证：；
（2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由.
20.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.
21.（本题满分12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小.
22.（本题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左顶点为，右顶点为，上顶点为，的内切圆的半径为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为直线上任意一点，直线分别交椭圆于不同的两点.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
枣庄市重点中学2022-2023学年高二上学期期中考试
数学答案
一、单选题
1-8ACCDBCBD
二、多项选择题
9.ABC 10.BCD 11.AC 12.BC
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17.解：（1），
由题意得直线方程为
（2）当直线的斜率不存在时，满足
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由，求得
所以直线为或.
18.解：（1）将圆化成标准方程：，
圆的圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
弦长；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即.
圆心到直线的距离为，
即，解之得.
此时切线方程为，化简得
综上所述，所求的直线方程为：或
19.解：（1），所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直
线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，所以，即
（2）若存在点使平面，则，
，
因为平面，所以存在实数，使成立，
则解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
20.解：（1）曲线与坐标轴的交点为，
由题意可设圆的圆心坐标为，解得，
圆的半径为，圆的方程为.
（2）设，联立方程组，
消去得到方程，
由已知得，判别式①，
由根与系数的关系得②，
由得.
又，所以可化为③，
将②代入③解得，经检验，满足①，即，
故.
21.解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，底面
，又平面.
所以两两垂直.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间
直角坐标系，如图.，
.
由题设.
所以，所以.
（2）设平面的法向量为，
所以，即.
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则.
当时，取最小值为，
此时取最大值为.
所以，此时.
22.（1）的内切圆的半径为，
整理得，
由设代入上式解得，
，椭圆的标准方程为
（2）设，则直线的方程为
由得
所以，解得，代入得，
所以
同理可得
则直线的斜率为，
所以直线的方程为：
整理得
故直线恒过定点，定点坐标为
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