2021-2022学年河北省各地冀教版数学九年级上册期末试题选编 第二十四章 一元二次方程 综合复习题（含解析）

第二十四章 一元二次方程 综合复习题
一、单选题
1．（2022·河北唐山·九年级期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河北石家庄·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1、2、﹣3 B．1、2、3 C．1、﹣2、3 D．1、﹣2、﹣3
3．（2022·河北邢台·九年级期末）已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
4．（2022·河北石家庄·九年级期末）一元二次方程的根为（ ）．
A． B．
C．， D．，
5．（2022·河北承德·九年级期末）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北邯郸·九年级期末）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
7．（2022·河北廊坊·九年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（ ）
A．-2 B．2 C．0 D．1
8．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
10．（2022·河北保定·九年级期末）如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
二、填空题
11．（2022·河北廊坊·九年级期末）已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
12．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根为________，m的值是________．
13．（2022·河北石家庄·九年级期末）一元二次方程的根是__________．
14．（2022·河北沧州·九年级期末）关于x的方程，若，则此方程根为______；若此方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______；
15．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是 ___．
16．（2022·河北唐山·九年级期末）某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了，则2月份口罩的生产数量为________万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，则可列出方程_________．
三、解答题
17．（2022·河北张家口·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
18．（2022·河北邯郸·九年级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣99＝0．
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．
19．（2022·河北保定·九年级期末）解方程
(1)
(2)
20．（2022·河北廊坊·九年级期末）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
21．（2022·河北保定·九年级期末）解一元二次方程
(1)；
(2)（用公式法）．
22．（2022·河北唐山·九年级期末）已知关于x的一元二次方程●常数项部分看不清楚．
(1)若小红做题时把●猜成了2，请帮小红求出方程的根；
(2)若此方程有实数根，求●的取值范围．
23．（2022·河北邢台·九年级期末）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：
∵，，，（第一步）
∴（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
(1)小明解答过程是从第______步开始出错的；
(2)写出此题正确的解答过程．
24．（2022·河北石家庄·九年级期末）在一次聚会上，规定每两个人必须握一次手．
(1)若参加聚会的人数为5人，则共握手 次．
(2)若参加聚会的人共握手28次，参加聚会的有多少人？
(3)由握手问题联想到数学问题，若在线段AB上取点，…如图），那么在这个图形上的线段总数就是66条，则 ．
25．（2022·河北唐山·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
26．（2022·河北沧州·九年级期末）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)求当m=5时此方程的根．
27．（2022·河北廊坊·九年级期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
28．（2022·河北保定·九年级期末）G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛边和边的长分别是多少？设花坛边的长为m．
(1)填空：花坛边的长为_________m（用含的代数式表示）；
(2)请列出方程，求出问题的解．
参考答案：
1．B
【解析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．2x2﹣1＝3x是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．x2+﹣3＝0是分式方程，故此选项不符合题意；
D．2x2﹣y＝1是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．D
【解析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项．
解：∵一元二次方程可化为：，
∴二次项系数为1、一次项系数为﹣2、常数项为﹣3．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
3．B
【解析】把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．
解：把x＝a代入一元二次方程，得
a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a=6，
故选：B．
本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．
4．A
【解析】根据方程特点，利用直接开平方法，先把方程两边开方，即可求出方程的解．
解：，
两边直接开平方，得，
则．
故选：A．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法的基本步骤及方法．
5．B
【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：
，
，
．
故选：B．
本题考查了解一元二次方程 配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．C
【解析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
由题意可知：a=1，b=-2，c=3，
此方程没有实数根．
故选：C．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
7．C
【解析】根据方程有两个不相等的实数根可得根的判别式△ ，即可得到关于m的不等式，解出即可．
解：由题意得：
△
解得 ，则m的值可以是0
故选C．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键．
8．B
【解析】根据根的判别式得到Δ=a2-4×1×1=0，然后解关于a的方程，即可求出a值．
解：根据题意得Δ=a2-4×1×1=0，解的a=2或a=-2．
故选：B．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．C
【解析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
解：∵在中，，AB=，BC=，
∴，
∴当四边形的面积为时，
，
设运动时间为t，则，，
∴，
解得：，，
∵点P在AB上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
10．C
【解析】把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边，就可以得到阴影部分图形是长方形，根据题意列出方程即可．
解：设小路的宽为，由题意得，
，
故选C．
此题考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是本题的关键．
11．-2
【解析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12． 3 6
【解析】设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=5，2t=m，计算求解即可．
解：设方程另一个根为t，
则2+t=5，2t=m，
所以t=3，m=6，
方程的另一个根为3，即m的值为6；
故答案为3，6．
此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
13．，
【解析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣5＝0，
所以，．
故答案为：，．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键．
14． ##
【解析】若，得到关于x的方程，解方程即可得解；若方程有两个不相等的实数根，则利用根的判别式即可得到m的取值范围．
解：若，得到关于x的方程，
∵
∴ 或
∴，
若方程有两个不相等的实数根，则
解得
故答案为：，；．
本题考查了一元二次方程的解法及根的判别式应用，熟练掌握方程的解法和判别式的用法是解题的关键．
15．2
【解析】根据一元二次方程解的定义将x=-1代入即可求出a的值．
解：∵关于的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1
∴
解得：a=2
故答案为：2．
此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
16． 50 50（1+x）2＝60.5
【解析】2月份口罩生产数量=1月份口罩生产数量，即可求出2月份口罩生产数量，4月份口罩生产数量=2月份口罩生产数量，即可列出方程．
解：2月份口罩生产数量为40=40×1.25=50（万个）．
设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，
依题意得：，
故答案为：50；．
本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，列出方程即可．
17．(1)x1=4，x2=0；
(2)x1=5，x2=-1．
【解析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．
（1）解：（x-2）2-4=0，
∴（x-2）2=4，
∴x-2=±2，
∴x=2±2，
∴x1=4，x2=0；
（2）解：x2-4x-5=0．
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x1=5，x2=-1．
此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键．
18．（1），；（2），
【解析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）移项提取公因式，即可求解．
解：（1）
解得：，
（2）
解得：，
此题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【解析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到（2x-1）2-（3-x）2=0，然后利用因式分解法解方程．
(1)
解：x2-6x-1=0，
移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=1+9，即（x-3）2=10，
∴x-3=±，
∴x1=3+，x2=3-；
(2)
解：移项得：（2x-1）2-（3-x）2=0，
因式分解得：（2x-1+3-x）（2x-1-3+x）=0，
∴2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0，
∴x1=-2，x2=．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．（1）x1=2，x2=；（2）x1=，x2=．
【解析】（1）移项得到（x-2）（3x-1）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）整理后利用求根公式法解方程．
解：（1）移项得3x（x-2）-（x-2）=0，
因式分解得（x-2）（3x-1）=0，
∴x-2=0或3x-1=0，
∴x1=2，x2=；
（2）整理得：x2-4x+1=0，
∵a=1，b=-4，c=1，
，
∴，
∴x1=，x2=．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
21．(1)
(2)
【解析】（1）利用开平方法求解即可；
（2）根据公式法解方程的步骤依次计算即可．
（1）∵，∴， 则或，解得．
（2）∵，∴，则，∴．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
22．(1)；
(2)●的取值范围为不小于的所有实数
【解析】（1）用公式法求解即可；
（2）设●表示的数为m，由一元二次方程有实数根的条件即可求得m的取值范围，从而可求得结果．
(1)
解：由题意得原方程为：2x2＋3x－2＝0
∵
∴
∴
(2)
设●表示的数为m，则方程为2x2＋3x﹣m＝0
∵此方程有实数根
∴≥0
即≥0
解得m≥
即●的取值范围为不小于的所有实数
本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的特点选择恰当的方法来解是关键，掌握一元二次方程根与判别式的关系也是关键．
23．(1)一
(2)正确的解答过程见解析，x1=4，x2=1
【解析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
(1)
解：原方程化为：
∴，，
∴第一步出错．
(2)
解：原方程化为：
∴a=1，b=－5，c=4，
∴b2－4ac=（－5）2－4×1×4=9
∴x=
∴x1=4，x2=1
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．(1)10
(2)8人
(3)10
【解析】（1）由参加聚会的人数为5人，每人需给另外4人握手，即得握手总数为次；
（2）设参加聚会的有x人，每人需给另外（x﹣1）人握手，总握手次数为次，故，即可解得答案；
（3）在点P1，P2…Pm中，每一个点都和另外（m﹣1）个点组成线段，可得，即可得到答案．
（1）
解：∵参加聚会的人数为5人，
∴每人需给另外4人握手，
∴握手总数为（次），
故答案为：10；
（2）
解：设参加聚会的有x人，
则：，
解得，，（不合题意，舍去）．
参加聚会的有8人
（3）
解：在线段AB上取点P1，P2…Pm，共有（m+2）个点，每一个点都和另外（m+1）个点组成线段，
∴线段共有条，
∴，
解得m＝10或m＝﹣13（不符合题意，舍去）．
故答案为：10．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握x人握手，握手总次数是 ．
25．（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2，x1=0，x2=2．
【解析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．
（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得：k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，
解得：x1=0，x2=2．
本题考查了根的判别式，解一元二次方程．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
26．(1)
(2)
【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，据此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）将m=5代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
（1）由题意得：，
解得：；
（2）当m=5时，，
解得：.
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式．
27．（1）见详解；（2）2030
【解析】（1）根据a＝1，b＝-2m，c＝m2 1，求出△＝b2 4ac的值，进而作出判断；
（2）把x＝2代入方程列出m的一元二次方程，再整体代入求值，即可．
（1）证明：∵a＝1，b＝-2m，c＝m2 1，
∴△＝b2 4ac＝（-2m）2 4（m2 1）×1＝4＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝2是该方程的一个根，
∴22﹣2×2m+m2﹣1＝0，即： m2-4m=-3，
∴﹣3m2+12m+2021=-3 (m2-4m)+2021=9+2021=2030．
本题主要考查了根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法，此题难度不大．
28．(1)
(2)长为6m，长为10m
【解析】（1）根据长方形对边相等、周长公式即可得出；
（2）根据长方形的面积公式建立一元二次方程，求解、检验即可得出．
（1）解：设花坛边的长为，因为，，所以．
（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，（不符合题意，舍去）当时，．所以长为6m，长为10m．答：花坛长为6m，长为10m．
本题考查一元二次方程的实际应用．长方形的周长；长方形的面积（其中，，分别为长方形的长和宽）．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题（明确已知和未知），找相等关系，设元、列方程、并解方程，检验根的合理性，作答．灵活利用已知信息找相等关系以建立一元二次方程，注意长方形的长须小于等于墙是解本题的关键．