苏教版（2019）高中数学必修第一册《函数的单调性---抽象函数、复合函数单调性》名师课件(共14张PPT)

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在证明函数的单调性时，我们还可以利用其等价式子：任取，那么
在上是增函数；
在上是减函数.
复习引入
用定义法证明和判断函数的单调性
定义法证明函数单调性的四个步骤：
复习引入
若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质：
(1) 与( 为常数)具有相同的单调性.
(2)当时， 与具有相同的单调性；当时， 与具有相反的单调性.
(3)若恒为正值或恒为负值,则当时,与具有相反的单调性；当时,与具有相同的单调性.
(4)若0，则与具有相同的单调性.
(5)当都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则是减(增)函数.
复习引入
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函数的单调性
---抽象函数、复合函数单调性
复合函数的单调性
新知讲解
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
规律：
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减"，注意先考虑定义域.
例1.已知函数,试判断此函数在上的单调性，并求出此函数在上的最大值和最小值.
思路分析
首先将复合函数分解成函数，然后只需判断在定义域上的单调性即可.
解析
函数可分解成函数
因为,所以,显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，由复合函数的单调性，知上单调递减.
因此，函数在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4
典例讲解
典例讲解
例2.求的单调递增区间.
解析
的定义域为{|，或}，令，则原函数可化为.
因为在上单调递减，在
上单调递增， 在其定义域内为增函数，
所以原函数在上单调递减，在上单调递增.
所以原函数的单调递增区间为.
方法归纳
(1)步骤：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性
(2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.
复合函数的单调性判断
变式训练
1.已知，求函数的单调区间.
解析
令，则从而，易知在上单调递减，在上单调递增.即的单调区间以1为界来划分.
令，得,易知的单调区间以0为界来划分.
由此可确定的单调性，如下表所示：
增 增 减 减
减 增 减 增
减 增 减 增
故的单调增区间是和，单调减区间是和.
抽象函数
新知讲解
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
(1)合理赋值
根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，从而达到转化为要解决的问题的目的，这是常用的思维方式.
(2)凑配法
瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或其他方法，以达到确定“”符号的目的.
(3)分拆变形
根据题目所给的关系进行分拆变形，构造出符合要求的结构形式.
解决抽象函数问题的常用方法
典例讲解
解析
∵ ∈ ，且，
∴.
例3.已知定义在上的函数对任意，恒有,且当时，判断在上的单调性.
设是区间上的任意两个实数，且，
∴
∴>0
∴,即
∴在上单调递减.
典例讲解
例4.已知函数对任意的，总有,且当时，求证：在上为减函数.
证明
在上任取设，则
∴
,
即,
∴在上为减函数.
∵当时，，∴ ，
方法归纳
若给出的是和型抽象函数，判定符号时的变形为
；
若给出的是积型抽象函数，判定符号时的变形为,
.
变式训练
2.已知函数对任意的，总有, ,且当时，
(1)求证： ；
(2)求证：恒有；
(3)求证： 是上的增函数；
证明
(3)在上任取设
∴在上为增函数.
(1)令： .∵，∴ .
(2)令： .
当时，当时，∴
∴当时，又 ,∴ 恒有.
由(2)知，又，>1，
故,