苏教版（2019）高中数学必修第一册《函数的基本性质---二次函数的最值问题》名师课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
，都有；
(2)，使得.
那么，我们称是函数的最大值(maximum value).
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
，都有；
(2)，使得.
那么，我们称是函数的最小值(minimum value).
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标
复习引入
苏教版同步教材名师课件
函数的最大(小)值
---二次函数的最值问题
二次函数的图像与性质
函 数
图 象
定义域
对称轴
单调性
最 值
o
o
当时,函数
有最小值
在 (-∞, ]上递减,
在[ ,+∞)上递增.
在 (-∞, ]上递增,
在[ ,+∞)上递减.
当时,函数
有最大值
新知讲解
一是函数的定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，用配方法即可求出最大(小)值；
二次函数的最大(小)值问题有两种类型：
二是函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性决定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)决定，当抛物线的开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论.
新知讲解
新知讲解
二次函数在闭区间上的最值问题，可由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上、在区间左边、在区间右边)来决定，当开口方向和对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.
(1)一般地，二次函数在上的最大值、最小值的规律是：
当时，区间内的数距对称轴越近，在该点处的函数值越小，越远值越大；
当时，区间内的数距对称轴越远，在该点处的函数值越小，越近值越大；
(2)求含参变量的二次函数在指定区间上的最值，通常按照顶点横坐标在区间内、区间左、区间右三种情况来分类讨论.
新知讲解
与二次函数有关的最值问题有以下三类：
(1)定轴定区间上的最大(小)值.
(2)动轴定区间上的最小(大)值.
(3)定轴动区间上的最大(小)值.
二次函数的最值问题类型
典例讲解
解析
例1、已知函数当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值：
(1)R; (2)[0,3]; (3)[-1,1].
(1)当时，，当时，等号成立.故当时，函数在处取得最小值，最小值为，无最大值.
作出函数在所给范围内的图象(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.
思路分析
，作出函数的图象如图所示.
典例讲解
解析
例1、已知函数当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值：
(1)R; (2)[0,3]; (3)[-1,1].
(2)由图可知，在上，函数在处取得最大值，最大值为5；在处取得最小值，最小值为.
(3)由图可知，函数在上是减函数，在处取得最大值，最大值为20；在处取得最小值，最小值为.
作出函数在所给范围内的图象(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.
思路分析
典例讲解
例2、已知函数在区间上有最大值4和最小值1.求，的值.
根据二次函数的对称轴与区间的关系，确定取得最大值与最小值的条件，建立方程组进行求解
思路分析
因为图象的对称轴为直线，且，
故函数在区间上单调递增，
则由题设知即解得
解析
方法归纳
二次函数在给定区间上的图象是抛物线的一段，最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值本题主要考查直观想象、数学运算的核心素养.
变式训练
分析
1.求函数=在下列区间上的最值：
(1)[-3，0]；(2)[-1，1]；(3)[2，4].
函数=的图象开口向上，对称轴为直线.
(1)当
(2)当
(3)当
.
典例讲解
解析
例3、求函数在区间上的最大值和最小值.
由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关，而题中函数图象的对称轴为直线，位置不确定，所以应按函数图象的对称轴与x轴的交点的横坐标和区间的相对位置进行分类讨论.
思路分析
，
.
，其图象的对称轴为直线.
(1)当时，由图①可知，在区间上
是增函数，
典例讲解
，
.
解析
例3、求函数在区间上的最大值和最小值.
.
(2)当时，由图②可知，对称轴在区间内，
(3)当时，由图③可知，对称轴在区间内，
典例讲解
解析
例3、求函数在区间上的最大值和最小值.
.
(4)当时，由图④可知，在上为减函数，
本题不是分三种情况讨论，而是分四种情况，这是由于抛物线的对称轴在区间内时，最小值是在顶点处取得的，但最大值有可能是，也有可能是.本题考查了直观想象及逻辑推理的核心素养.
方法归纳
在求二次函数的最值时，要注意其定义域范围若定义域为，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看其图象的对称轴与x轴的交点的横坐标和区间的位置关系，是在区间内还是在该区间的左边或右边，当函数图象的对称轴在区间的某一边时，应利用函数的单调性求解.
在求二次函数的最值时，应先判断它的图象的开口方向，若含有参数，则要根据对称轴与轴交点和区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.
2.已知函数，且，求实数的取值范围.
根据二次函数的对称轴与区间的关系，以及函数的最大值条件，确定对称轴所在的区间.
思路分析
解析
，
函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为直线.
又，且，
实数的取值范围是.
变式训练
典例讲解
解析
例4、求函数在区间上的最小值.
因为图象的对称轴固定，区间不定，所以本题可以从个方面进行讨论：①图象的对称轴在区间左侧；②图象的对称轴在区间右侧；③图象的对称轴在区间内.
思路分析
，，其图象的对称轴为直线.
当，即时，函数图象如图(1)所示，函数在区间上为减函数，所以；
典例讲解
例4、求函数在区间上的最小值.
当，即时，函数图象如图(2)所示，；
解析
当时，函数图象如图(3)所示，函数在区上为增函数，所以.
综上可得，
方法归纳
求解二次函数定轴动区间求最值问题的解题步骤
3.设，求函数的最小值的解析式.
将二次函数配方，利用对称轴与区间的关系进行分类，写出函数的最小值的表达式.
思路分析
解析
，
∴当时，即时，；
当，即时，在上是减函数，
；
当时，在上是增函数，.
综上可知，
变式训练