苏教版（2019）高中数学必修第一册《函数的单调性》精品课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
苏教版同步教材精品课件
5.3函数的单调性
情境引入
1.观看优美图片
通过多媒体出示优美图片，如下图.
2.回想自己上山、下山的情境，在练习本上画出上山、下山的路径图，并以出发点为坐标原点建立直角坐标系，画出爬山的路径图.
设计意图：让学生完成从生活到数学的体验，使其从图象上直观感知函数的单调性.
探究1：观察一次函数、二次函数图象（如图所示），回答下列问题.
探究新知
（1）这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
（2）函数在R上y随x的增大而_______；函数在区间_______上y随x的增大而增大，在区间_______上y随x的增大而减小.
结论：
增函数的定义：
一般地，设函数的定义域为A，区间.
如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间I上是增函数（如图），Ⅰ称为的增区间.
探究2：类比增函数的定义，对于一般函数，我们应当如何给减函数下定义？
结论：
减函数的定义：
一般地，设函数的定义域为A，区间.
如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间I上是减函数（如图），I称为的减区间.
探究新知
如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性增区间和减区间统称为单调区间.
归纳总结：增函数、减函数定义的理解.
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质.
（2）定义中的有以下三个特征：
①任意性，即“任意取 ”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
②有大小
③属于同一个单调区间.
（3）单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化.
探究新知
练习：
判断对错.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）所有的函数在其定义域上都具有单调性. （ ）
（2）对于函数，由于，故该函数在定义域内是增函数. （ ）
（3）若函数为R上的减函数，则. （ ）
×
×
√
探究3：如图所示，观察函数的图象，说出该天的气温变化范围.
探究新知
定义：
函数的最大值、最小值：
一般地，设的定义域为A.
如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为；
如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为.
注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值.
（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法.
探究新知
典例剖析
例1、 画出下列函数图象，并写出单调区间：
（1）；
（2）.
解析
（ 1）函数图象如图（1），增区间为，减区间为.
活动
学生在练习本上画图，找一学生板演，教师巡视指导.
（2）函数图象如图（2），和是两个减区间.
典例剖析
例2、证明：函数在区间上是增函数.
证明
任取，且，
则.
因为
，
所以，
即.
故函数在区间上是增函数.
教师针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.
活动
思考：如何证明函数在区间上是增函数？
归纳解题步骤：
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方等）断号、定论.
练习：证明函数在区间上是增函数.
问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，还可以让学生尝试用这种等价形式来证，即对任意的，且，有.用这种方法证明函数在区间上是增函数.
学生独立完成，集体核对.
典例剖析
典例剖析
例3、如图为函数的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.
解析
观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是，最低的点是.
因此，当时，函数取得最大值，即；当时，函数取得最小值，即.
函数的增区间为；减区间为.
活动
教师利用多媒体出示题目，找一学生回答.师生一起纠正，得到正确答案.教师引导学生思考函数的最大值、最小值与函数单调性的关系.
典例剖析
例4、求下列函数的最小值：
（1）；
（2）.
解析
（1）因为，且当时，，所以函数在时取得最小值，即.
（2）因为对于任意实数，都有，且当时，，
所以函数在时取得最小值，即
活动
活动：教师利用多媒体出示题目，学生板演，教师讲解.
思考：例4中的函数有无最大值？
典例剖析
例5、已知函数的定义域是.当时，是增函数；当时，减函数.试证明在时取得最大值.
证明
因为当时，是增函数，所以对于任意，都有.
又因为当时，是减函数，所以对于任意，都有.
因此，对于任意都有，即在取得最大值.
总结：函数的最值与单调性之间的关系如下.
已知函数的定义域是.当时，是增函数；当时，是减函数，则在时取得最大值.反之，当时，是减函数；当时，是增函数，则在时取得最小值.
课堂小结
1.概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
2.证明方法和步骤：求函数的定义域，设元、作差、变形、断号、定论.
3.数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等.
作 业
教材第113页练习第5，6，7题.