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专题12 解析几何
考情分析
解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考查的重点内容， 在近几年的高考中，解析几何部分的题型大多稳定在2个小题，1个大题。每年的同一套试卷中椭圆、双曲线和抛物线三种重要二次曲线都会出现。解析题的共同特征是除了三个重要二次曲线以外，直线和圆的位置关系出现频率有所提高。
通过对近几年高考试题中解析几何部分的分析，解析几何的考查难度、考查位置发生很大变化，总的来说可易可难，可后可前。从高考试题考查方式来说，变化的是题序、背景、情境。不变的是知识、方法、本质。
圆锥曲线定义、离心率、双曲线渐近线相关性质、抛物线焦点弦等知识为高频考点， 其涉及的思想方法包括：数形结合、转化化归、分类讨论、函数方程等。核心素养方面的为：直观想象、逻辑推理、数学运算等。
从考查知识的角度(核心知识)——定义、标准方程、几何性质、直线与曲线的位置关系、几何证明；从考查能力的角度(关键能力)——直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；从考查思想的角度(学科思想)——坐标思想数学结合和转化思想、变换与不变量思想、函数与方程待定系数思想、分类与整合思想；从学生问题的角度——基本概念不清晰、基本方法不熟练、运算能力、作图能力、推理能力等欠缺、目标意识规范意识薄弱。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国甲卷(理))椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：解法一:已知，设，，则，，
，，故①，
，即②，
②代入①整理得：，．故选：A．
解法二:设椭圆的右顶点为, 由于点均在上且关于轴对称,所以直线BP,AQ也关于轴对称, 即即故选：A．
2.(2022·全国甲卷(文))已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.
所以，因为，
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.故选：B.
3.(2022·全国乙卷(文、理))设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则
A．2 B． C．3 D．
答案：B
解析：解法一：为抛物线的焦点，点在上，点，，由抛物线的定义可知，不妨在第一象限)，所以．故选：B．
解法二：易知抛物线 的焦点为 ，于是有 ，故，注意到抛物线通径 ， =p,通径为抛物线最短的焦点弦，分析知必为半焦点弦，于是有 轴， 于是有：
4.(2022·全国乙卷(理))双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：AC
解析：设双曲线的方程为，
选项A图 选项C图
设过的切线与圆相切于点，则，，又，所以，过点作于点，所以，又为的中点，所以，，因为，，所以，所以，则，所以，由双曲线的定义可知，所以，可得，即，所以的离心率．当直线与双曲线交于一支时，同理可得正确；故选：AC．
5.(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则
A.C的准线为 B.直线AB与C相切 C. D.
答案：BCD
解析：将A点坐标代入抛物线C的方程得2p=1，从而p=，C的准线为y= ，A错误；直线AB的方程为y=2x 1，代入抛物线C的方程得=2x 1，即 2x+1=0，判别式△=0，且AB不平行于抛物线的对称轴，故AB与抛物线C相切，B正确；设直线PQ的方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)，代入抛物线C的方程得+1=0,判别式△=，即，设P、Q对应的参数分别为、，则+=，=,∴|BP||BQ|==>5=，D正确；
|OP|===,
同理|OQ|=，故|OP|×|OQ|=
===>2=.C正确。
6.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点．若，则
A.直线AB的斜率为2 B. C. D.
答案：ACD
解析：如图，
，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故A正确；
，，，故B错误；
，故C正确；
，，，，，
，，
，均为钝角，可得，故D正确．
故选：ACD．
7.(2022·天津卷)抛物线方程：，F1、F2分别是双曲线方程：(，)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，准线与渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：抛物线准线为，故．双曲线渐近线，不妨令在轴上方，则由于，故可得，故选．
二、填空题
8.(2022·全国甲卷(理))若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
答案：
解析：双曲线的渐近线：，圆的圆心与半径1，双曲线的渐近线与圆相切，，解得，舍去．故答案为：．
9.(2022·全国甲卷(文))设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，⊙M的方程为.故答案为：
10.(2022·全国甲卷(文))记双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值______________．
答案：2 (满足1＜e≤皆可)
解析：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”,
所以，又因为，所以1＜e≤，
故答案为：2 (满足1＜e≤皆可)
11.(2022·全国乙卷(文))过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
答案：(或或或
解析：设过点，，的圆的方程为，即，解得，，，所以过点，，圆的方程为．同理可得，过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．过点，，圆的方程为．故答案为：(或或或．
12.(2022·北京卷)已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
答案：
解析：双曲线化为标准方程可得，所以，双曲线的渐近线方程，又双曲线的渐近线方程为，所以，解得．故答案为：．
13.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
答案：(填或都正确)
解析：解法一：圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．，的斜率为，设直线，即，由，解得（负值舍去），则；由图可知，；与关于直线对称，联立，解得与的一个交点为，在上取一点，该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．，则，即．与圆和都相切的一条直线的方程为：
(填或都正确)．故答案为：(填或都正确)．
解法二：显然两圆的圆心距为5=1+4，即两圆相外切，故两圆有三条公切线。设两圆的圆心分别为O，M，易得OM：3y=4x，与圆O方程联立解得x=，y=(只取第一象限)，从而两圆的公切点为N(，)，过N与OM垂直的直线方程为y =(x )，即3x+4y 5=0.此为过N的两圆的一条公切线。延长MO到P，使得4=，则P为另两条公切线的交点，且==( 1, )，当切线的斜率不存在时，过P与圆O相切的直线为x+1=0，适合题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y+=k(x+1)，则由点到直线的距离公式得=1，解得k=，故切线方程为y+=(x+1)，即7x 24y 25=0.综上，两圆的三条公切线方程为：3x+4y 5=0，x+1=0，7x 24y 25=0。
解法三：当两圆的公切线斜率不存在时，设切线为x=m，则|m|=1且|m 3|=4，解得m= 1，故两圆的一条公切线为x= 1；当两圆的公切线斜率存在时，设两圆的公切线为y=kx+b，则=1，且=4,联立解得或故两圆的公切线方程为y=x+，y=x。综上，两圆的三条公切线方程为：x= 1，y=x+，y=x。
14.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
答案：13
解析：解法一：椭圆的离心率为，设椭圆，，的上顶点为，两个焦点为，，△为等边三角形，过且垂直于的直线与交于，两点，，由等腰三角形的性质可得，，，设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，由韦达定理可得，，，，
解得，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．故答案为：13．
解法二：仿法一得a=2c,b=c,仿法一由DE=6算出c=从而a=.
如图，连接EF2，DF2，易知A F2的中点为M(,DE：y=(x+c)，显然M在直线DE，即DE是AF2的垂直平分线，从而AE=EF2，AD=DF2，
故△ADE的周长为AD+AE+DE=D F2+E F2+DE= DF2+EF2+ DF2+EF2=4a=13.
解法三：由椭圆的离心率为可得a=2c，从而b=c，椭圆方程化为3+4=12，A(0, c),取F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，易得AF2的斜率为 ，故DE的斜率为，DE的方程为y=(x+c)，代入椭圆方程并整理得13+8cx 32=0，设D(,),E(,),则+=，= ,于是DE====6，解得c=，此时13+13x =0，解得x=，取D(,),E(,)，A(0,),
AD==,AE==,设223+84=，则解得m=14，n=3，故AD=，同理AE=，故AD+AE=7，△ADE的周长为AD+AE+DE=13.
解法四：仿上得到AD、AE的长度，设t=+，则=446+2=446+2=446+2×189=784=,故t=28，AD+AE=7.下同法三。
解法五: ，则设，由焦点弦公式，可知即，由椭圆的定义可得，的周长等价于．故答案为：13．
15.(2022·新高考Ⅱ卷)设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
答案：，
解析：圆的圆心为，半径为1，则这个圆关于对称的圆的方程的圆心为，半径为，则对称圆的方程为，，，，直线的方程为，即：，根据题意直线与对称圆有公共点，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得，.故答案为：，．
16.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
答案：
解析：设，，，，线段的中点为，由，，相减可得：，则，设直线的方程为：，，，，，，，，，，解得，，，化为：．，，解得．的方程为，即，故答案为：．
17.(2022·上海卷(春季))已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
答案：，
解析：设的对称点，仍在双曲线右支，由，得，即恒成立，恒为锐角，即∠MON≤90°，其中一条渐近线的斜率≤1，∴a≥1，所以实数的取值范围为，．故答案为：，．
18.(2022·上海卷(秋季))双曲线的实轴长为 ．
答案：6
解析：由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长．故答案为：6．
19.(2022·天津卷)直线与圆相交所得的弦长为，则_____.
答案：2
解析：
20.(2022·浙江卷)已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
答案：
解析：如图，
过点作轴于点，过点作轴于点，由于，且，则点在渐近线上，不妨设，设直线的倾斜角为，则，则，即，则，，又，则，又，则，则，点的坐标为，，即，．故答案为：．
三、解答题
21.(2022·全国甲卷(文、理))设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．
解：(1)解法一:由题意可知，当时，，得，可知，．
则在中，，得，解得．
则的方程为；
解法二:如图所示，过点作抛物线的准线的垂线线，垂足为
根据抛物线定义则有，即，解得
所以的方程为；
(2)设，，，，，，，，
由（1）可知，，则，
又、、三点共线，则，即，
，得，即；
同理由、、三点共线，得．
则．
由题意可知，直线的斜率不为0，设，
由，得，
，，则，，
则，
当时，；当时，无最大值，
当且仅当，即时，等号成立，取最大值，
此时的直线方程为，即，
又，，
的方程为，即．
22.(2022·全国乙卷(文、理))已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，，两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，﹣2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满．证明：直线HN过定点．
解：(1)设的方程为，且，
将两点代入得，
解得，，故的方程为；
(2)由可得线段
①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，
可得，，将代入，可得，得到，求得方程：，过点．
②若过的直线的斜率存在，设，，，，，
联立，得，
故有，，且，
联立，可得，
可求得此时，
将代入整理得，
将代入，得，
显然成立．
综上，可得直线过定点．
23.(2022·北京卷)已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与轴交于点M，N．当时，求k的值．
解：(Ⅰ)由题意得，，，，，
椭圆的方程为．
(Ⅱ)设过点的直线为，，，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，△，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，，同理，，
，
，，
．
24.(2022·新高考Ⅰ卷)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
解：(1)解法一：将点代入双曲线方程得，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设，设，，，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，
当m+2k 1=0时，直线l：y=kx 2k+1过点A，不合题意，舍去.
故；
解法二: 利用坐标平移变换将坐标原点平移到，
设新坐标系下直线的方程为，
双曲线的方程为：即，
则化齐次联立，得
即，
两边同时除以，得，
方程的两根即为直线的斜率，
即，故直线的斜率为.
(2)设直线的倾斜角为，则∠PAQ=2α或2α π，
由，，得或 ，
当时，
∵，，得，即，
联立，及得，
代入直线得，故，
而，
由，得，
故．
当时，∠PAQ=2α，得，仿上得，
代入直线得，故，
而，
由，得，
故．
25.(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，，，在C上，且，．过P且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)由题意可得，，
解得，，
因此的方程为，
(2)设直线的方程为，，
将直线的方程代入可得，
，，
，
设点的坐标为，则，
两式相减可得，
，
，
解得，
两式相减可得，
，
，
解得，
，其中为直线的斜率；
若选择①②：
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
，，
此时点的坐标满足，解得，，
为的中点，即；
若选择①③：
当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
此时，
，
由于点同时在直线上，故，解得，
因此．
若选择②③，
设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，
则，解得，，
同理可得，，
设的中点，，则，，
由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上，
将该直线联立，解得，，
即点恰为中点，故点在直线上．
26.(2022·上海卷(春季))已知椭圆，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限．
(1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；
(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；
(3)设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求的最小值．
解：(1)由题可得，，
因为，所以，解得，
所以，故的标准方程为；
(2)直线与直线的交点在椭圆上，
由题可得此时，，，，
则直线，直线，交点为，，满足，
故直线与直线的交点在椭圆上；
(3)，，则直线，所以，
，，则直线，所以，
所以，
设，则，
因为＋≥，所以＋≥＝4，
则≥6，即的最小值为6．
27.(2022·上海卷(秋季))设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在上，左、右焦点分别为，、，．
(1)，中点在轴上，求点M的坐标；
(2)直线与轴交于B，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
(3)在椭圆上存在一点P到距离为，使，随的变化，求的最小值．
解：(1)由题意可得，，
的中点在轴上，
的纵坐标为，
代入得．
(2)由直线方程可知，
①若，则，即，
∴，
∴．
②若，则，
，，
，．
即，∴，∴，
综上或．
(3)设，
由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
，∴，
据此可得，|sin(θ＋φ)|＝≤1，
整理可得 (a－1)(3a－5)≤0，即1≤a≤，
从而d＝6－2a≥6－2×＝．即的最小值为．
28.(2022·天津卷)已知椭圆方程，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，.
(1)求椭圆离心率e；
(2)已知直线与椭圆有唯一交点M，直线交轴于点N，,面积为，求椭圆的标准方程．
解：(1)
所以
(2)由(1)可知椭圆方程为，设
联立，得
由
由，且，
得且
所以，所以
故椭圆的标准方程
29.(2022·浙江卷)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．
(Ⅰ)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(Ⅱ)求的最小值．
解：(Ⅰ)设椭圆上任意一点，
则，，，
而函数的对称轴为，
则其最大值为，
，即点到椭圆上点的距离的最大值为；
(Ⅱ)设直线，
联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，，
由韦达定理可得，，
∴，
设，，，，直线，直线，
联立以及，
可得，
∴由弦长公式可得
将，.
化简得：
(1)当 时， ，即 ；
(2)当时，记，则
故 在上单调递减，在上单调递增.
所以，即.
综上所述，当时，取最小值.
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题12 解析几何 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 解析几何
考情分析
解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考查的重点内容， 在近几年的高考中，解析几何部分的题型大多稳定在2个小题，1个大题。每年的同一套试卷中椭圆、双曲线和抛物线三种重要二次曲线都会出现。解析题的共同特征是除了三个重要二次曲线以外，直线和圆的位置关系出现频率有所提高。
通过对近几年高考试题中解析几何部分的分析，解析几何的考查难度、考查位置发生很大变化，总的来说可易可难，可后可前。从高考试题考查方式来说，变化的是题序、背景、情境。不变的是知识、方法、本质。
圆锥曲线定义、离心率、双曲线渐近线相关性质、抛物线焦点弦等知识为高频考点， 其涉及的思想方法包括：数形结合、转化化归、分类讨论、函数方程等。核心素养方面的为：直观想象、逻辑推理、数学运算等。
从考查知识的角度(核心知识)——定义、标准方程、几何性质、直线与曲线的位置关系、几何证明；从考查能力的角度(关键能力)——直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；从考查思想的角度(学科思想)——坐标思想数学结合和转化思想、变换与不变量思想、函数与方程待定系数思想、分类与整合思想；从学生问题的角度——基本概念不清晰、基本方法不熟练、运算能力、作图能力、推理能力等欠缺、目标意识规范意识薄弱。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国甲卷(理))椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
2.(2022·全国甲卷(文))已知椭圆的离心率为，A1、A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为( )
A. B. C. D.
3.(2022·全国乙卷(文、理))设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则
A．2 B． C．3 D．
4.(2022·全国乙卷(理))双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则
A.C的准线为 B.直线AB与C相切 C. D.
6.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点．若，则
A.直线AB的斜率为2 B. C. D.
7.(2022·天津卷)抛物线方程：，F1、F2分别是双曲线方程：(，)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，准线与渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.(2022·全国甲卷(理))若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
9.(2022·全国甲卷(文))设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
10.(2022·全国甲卷(文))记双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值______________．
11.(2022·全国乙卷(文))过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
12.(2022·北京卷)已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
13.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
14.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
15.(2022·新高考Ⅱ卷)设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
16.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且，，则l的方程为 ．
17.(2022·上海卷(春季))已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
18.(2022·上海卷(秋季))双曲线的实轴长为 ．
19.(2022·天津卷)直线与圆相交所得的弦长为，则_____.
20.(2022·浙江卷)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
三、解答题
21.(2022·全国甲卷(文、理))设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．
22.(2022·全国乙卷(文、理))已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，，两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，﹣2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满．证明：直线HN过定点．
23.(2022·北京卷)已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与轴交于点M，N．当时，求k的值．
24.(2022·新高考Ⅰ卷)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
25.(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，，，在C上，且，．过P且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
26.(2022·上海卷(春季))已知椭圆，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限．
(1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；
(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；
(3)设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求的最小值．
27.(2022·上海卷(秋季))设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在上，左、右焦点分别为，、，．
(1)，中点在轴上，求点M的坐标；
(2)直线与轴交于B，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
(3)在椭圆上存在一点P到距离为，使，随的变化，求的最小值．
28.(2022·天津卷)已知椭圆方程，F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，.
(1)求椭圆离心率e；
(2)已知直线与椭圆有唯一交点M，直线交轴于点N，,面积为，求椭圆的标准方程．
29.(2022·浙江卷)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．
(Ⅰ)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(Ⅱ)求的最小值．
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题12 解析几何 1/1
