高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.2等差数列B（含答案）

一、单选题
1．设数列的前n项和为，且，，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
6．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A． B．
C．， D．
8．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
三、填空题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2020>0，S2021<0，则当n=_____________时，Sn最大.
10．在等差数列中，，（、），则的值为______.
11．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.
12．在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题
13．已知数列满足：，，其中为的前项和.
（1）已知，求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式.
14．数列满足，已知．
（1）求，；
（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
15．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
16．在公差为2的等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由和的关系式，可得出数列是等差数列，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】由得，
当时，，
整理得，
所以是公差为4的等差数列，又因为，
所以，从而，
所以，
所以数列的前10项和为．
故选：C
2．C
【分析】对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断.
【详解】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
3．D
【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】因为，所以．
又，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．
故选：D．
4．B
【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
5．C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
6．D
【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以，
则．
故选：D.
7．ACD
【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项A正确；
由递推关系可知：，故选项B不正确；
当，，故选项C正确；
因为，
所以
，故选项D正确；
故选：ACD.
8．AC
【分析】根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．
【详解】，，经验证对于也成立，所以，故A正确；
当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；
因为当时，，所以，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
9．1010
【分析】先由S2020>0，S2021<0，判断出，，即可得到答案.
【详解】等差数列{an}的前n项和为，所以，因为1+2020=1010+1011，所以，所以.
，
所以，
所以当n=1010时，Sn最大.
故答案为：1010.
10．0
【分析】基本量代换，由，求出公差d，直接用通项公式求出.
【详解】设的公差为d，则有
∴ ，
故答案为：0
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
11．
【分析】由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】解：由,得，则，
由得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，
，
所以，
当时，也适合上式，
所以，
故答案为：.
12．
【分析】由已知得，运用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案.
【详解】解：∵时，，即，
∴
．
又时，也符合上式，∴．
不等式化为，
∵，∴．
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用，结合可得，再利用为常数，由等差数列的定义即可求证；
（2）结合（1）可得，讨论时可得，当时，利用，检验是否满足即可得结果.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以，从而，
故，
又因为，
所以是首项为，公差均的等差数列，
（2）由（1）知：，所以，
当时，；
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为.
14．（1）；；（2）存在；．
【分析】（1）代入，进入，结合，即得解；
（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解
【详解】（1）当时，．
当时，，
∴．
∴，解得．
（2）当时，
．
要使为等差数列，则为常数，即，
即存在，使为等差数列．
15．(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
16．(1)
(2)270
【分析】（1）由题意可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组法求数列的前20项和
（1）
由，得，所以，
故．
（2）
因为，
所以，
又，，，
所以
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页