高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.1数列的概念A（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.1数列的概念A（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 459.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-12 15:35:02 | ||
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文档简介
一、单选题
1．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
4．在数列中，，则的值为（ ）
A． B．5
C． D．
5．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）
1 2 3 4 5
5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多选题
7．已知数列满足，且，集合中的最小元素记为m．若10，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
10．已知正整数数列满足,则当时，___________.
11．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为_______．
12．已知数列满足，，则_______.
四、解答题
13．已知数列的通项公式为.
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
14．已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围．
15．数列中，已知．
（1）写出，；
（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
16．写出下列各数列的一个通项公式：
（1）4，6，8，10，…；
（2）…；
（3）…；
（4）5，55，555，5555，…．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据，利用累加法先求出，进而求得即可.
【详解】由题意得，，
则，…，，
由累加法得，，
即，
则，
所以，
故选：D
2．A
【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
3．D
【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】设该高阶等差数列的第8项为，
根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得，则.
故选：D
4．B
【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求.
【详解】因为在数列中，，
所以，
故是周期数列且周期为3，故.
故选：B.
5．B
【分析】根据，由递推求解.
【详解】因为，，
所以，
，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的递推，属于基础题.
6．D
【分析】先根据定义计算，找出规律，根据周期求结果.
【详解】∵，，，
∴该数列周期为3，
∴.
故选：D.
7．BD
【分析】根据计算出，由计算出的结果可判断出答案.
【详解】因为数列满足，且，
所以，，
，，
，，
，，
，
所以，故A不正确；
集合中的最小元素，所以B正确；
，所以C不正确；
22，所以D正确．
故选：BD．
8．CD
【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
9．
【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．
【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．
故答案为：．
10．4
【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第二项起是周期数列，从而可得结论．
【详解】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．
故答案为：4．
11．5
【分析】解不等式得到项的正负，即可得答案；
【详解】当或，
当取得最小值时，即取得最小值，
n的值为.
故答案为：5.
12．50
【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.
【详解】根据题意，令，得
因为，所以，又，
所以是首项为的常数列，故，即，故，
所以.
故答案为：50.
13．（1）是，第17项；（2）；大于零；（3），无最大项.
【分析】（1）令,求解即可；
（2）化简即可得,由即可判断其符号；
（3）由（2）可得数列是递增数列,最小项为首项,无最大项
【详解】（1）是,
令,即,解得,
0.25是数列的项,是第17项
（2）由题,
,,,即
（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项
【点睛】本题考查数列的项的判断,考查利用递推公式判断数列增减性,考查数列的最大（小）项
14．
【分析】根据题意转化为在且时恒成立，即在且时恒成立；分、和，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由数列的通项公式为，则，
可得，
若数列是严格减数列，可得在且时恒成立，
即在且时恒成立；
当时，可得恒成立，满足题意；
当时，变形为，不能恒成立，不满足题意；
当时，变形为，可得，可得，
综合可得：实数的取值范围为．
15．（1），；（2）79是该数列中的项，是第15项.
【分析】（1）直接代入，计算即可；
（2）利用通项公式解出是否是正整数即可得到答案．
【详解】解：（1）
所以；
.
（2）令，解得或舍去)，所以是该数列中的项，并且是第15项.
16．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】通过观察法求数列的通项公式.
【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．
（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．
（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．
（4）这个数列的前4项可以变为
即
即
所以它的一个通项公式为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
4．在数列中，，则的值为（ ）
A． B．5
C． D．
5．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）
1 2 3 4 5
5 1 3 4 2
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多选题
7．已知数列满足，且，集合中的最小元素记为m．若10，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
10．已知正整数数列满足,则当时，___________.
11．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为_______．
12．已知数列满足，，则_______.
四、解答题
13．已知数列的通项公式为.
（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由
（2）计算，并判断其符号；
（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
14．已知数列的通项公式为，若数列是严格减数列，求实数m的取值范围．
15．数列中，已知．
（1）写出，；
（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
16．写出下列各数列的一个通项公式：
（1）4，6，8，10，…；
（2）…；
（3）…；
（4）5，55，555，5555，…．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据，利用累加法先求出，进而求得即可.
【详解】由题意得，，
则，…，，
由累加法得，，
即，
则，
所以，
故选：D
2．A
【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
3．D
【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】设该高阶等差数列的第8项为，
根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得，则.
故选：D
4．B
【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求.
【详解】因为在数列中，，
所以，
故是周期数列且周期为3，故.
故选：B.
5．B
【分析】根据，由递推求解.
【详解】因为，，
所以，
，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的递推，属于基础题.
6．D
【分析】先根据定义计算，找出规律，根据周期求结果.
【详解】∵，，，
∴该数列周期为3，
∴.
故选：D.
7．BD
【分析】根据计算出，由计算出的结果可判断出答案.
【详解】因为数列满足，且，
所以，，
，，
，，
，，
，
所以，故A不正确；
集合中的最小元素，所以B正确；
，所以C不正确；
22，所以D正确．
故选：BD．
8．CD
【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
9．
【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．
【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．
故答案为：．
10．4
【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第二项起是周期数列，从而可得结论．
【详解】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．
故答案为：4．
11．5
【分析】解不等式得到项的正负，即可得答案；
【详解】当或，
当取得最小值时，即取得最小值，
n的值为.
故答案为：5.
12．50
【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.
【详解】根据题意，令，得
因为，所以，又，
所以是首项为的常数列，故，即，故，
所以.
故答案为：50.
13．（1）是，第17项；（2）；大于零；（3），无最大项.
【分析】（1）令,求解即可；
（2）化简即可得,由即可判断其符号；
（3）由（2）可得数列是递增数列,最小项为首项,无最大项
【详解】（1）是,
令,即,解得,
0.25是数列的项,是第17项
（2）由题,
,,,即
（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项
【点睛】本题考查数列的项的判断,考查利用递推公式判断数列增减性,考查数列的最大（小）项
14．
【分析】根据题意转化为在且时恒成立，即在且时恒成立；分、和，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由数列的通项公式为，则，
可得，
若数列是严格减数列，可得在且时恒成立，
即在且时恒成立；
当时，可得恒成立，满足题意；
当时，变形为，不能恒成立，不满足题意；
当时，变形为，可得，可得，
综合可得：实数的取值范围为．
15．（1），；（2）79是该数列中的项，是第15项.
【分析】（1）直接代入，计算即可；
（2）利用通项公式解出是否是正整数即可得到答案．
【详解】解：（1）
所以；
.
（2）令，解得或舍去)，所以是该数列中的项，并且是第15项.
16．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】通过观察法求数列的通项公式.
【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．
（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．
（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．
（4）这个数列的前4项可以变为
即
即
所以它的一个通项公式为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页