高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.3等比数列A（含答案）

一、单选题
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
2．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，若，，则（ ）．
A．31 B．63 C．123 D．1023
4．已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．设等差数列和等比数列的首项都是1，公差与公比都是2，则（ ）．
A．54 B．56 C．58 D．57
6．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6=8a3，则（ ）
A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8
C．=8 D．=9
8．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．对任意正整数，
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列
三、填空题
9．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为__________．
10．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
11．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________
12．如果，那么__________．
四、解答题
13．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
14．已知数列为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求数列的通项公式．
15．假设某市2021年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：
(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
16．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式及前n项和；
（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【详解】等比数列中，，，
则，解得，
故选：B．
2．A
【解析】利用等比数列的求和公式算出答案即可.
【详解】由可得数列为等比数列
所以
故选：A
3．A
【分析】由题意可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，从而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】因为数列中，若，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故选：A
4．D
【分析】根据等比数列的性质，结合等差数列的性质逐一判断即可.
【详解】因为不全相等的实数，，成等比数列，
所以该等比数列的公比，显然有，，
A：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列；
B：若，，成等差数列，显然成立，即，
化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；
C：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，
故，，有可能 成等差数列；
D：若，，成等差数列，显然，即，
化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，
故选：D
5．D
【分析】根据等差数列等比数列的通项公式，求出，,结合已知条件即可求解.
【详解】由题意知，等差数列的首项是1，公差是2，则
所以，
等比数列的首项是1，公比是2，则
所以，
所以．
故选：D.
6．D
【分析】由等比数列的通项公式计算．
【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
7．AD
【分析】由题意，若等比数列{an}的公比为，有求，根据等比数列前n项和公式求，即可判断各选项的正误.
【详解】∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，
∴，解得q=2，
∴=1+q3=9.
故选：AD.
8．ABC
【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，.
对于A选项，，所以，为等差数列，A对；
对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得，
由基本不等式可得，B对；
对于C选项，令，
所以，，
故数列一定是等差数列，C对；
对于D选项，设等比数列的公比为，
当时，，
此时，数列不是等比数列，D错.
故选：ABC.
9．
【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式列方程即可求得结果.
【详解】设第七天走的路程为，则第六天的行程为，
第五天的行程为，依次计算，
那么七天总共走的路程为.
故答案为：.
10．
【分析】构造等比数列，利用等比数列通项公式进行求解.
【详解】由，得.
令，则，且.
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
∴，∴.
故答案为：
11．4046##
【分析】根据题意确定数列的前10项，利用等比数列的前n项和公式即可求出结果.
【详解】因为数列是由和的公共项从小到大排列得到，
所以数列的前10项为，
即是以2为首项，以2为公比的等比数列.
所以数列的前10项和为
.
故答案为：4046
12．.
【分析】先讨论和两种情况求出，再求出，进而通过求和公式得出答案.
【详解】时，，
时，，两式相减得：，时满足题意.
所以，所以，则原式=.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.
【分析】（1）由题意可得an＋1＋1＝2(an＋1)，利用等比数列的定义即可证明.
（2）利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
14．（1）；（2）
【分析】（1）根据已知列式求出数列的首项和公差即可得出通项公式；
（2）由题可求出，即可求出公比，得出通项公式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，
，解得，；
（2），
等比数列的公比为，
.
15．(1)到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
【分析】根据题意可得：中低价房面积形成以首项，公差的等差数列，新建住房面积形成以首项，公比数列，利用数列解决对应问题．
【详解】（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中，，则．
令，即，
是正整数，则．
即到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，
其中，，则．
由题意可知，有．
是正整数，则的最小值为6．
∴当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
16．（1）；；（2）.
【解析】（1）先求出首项和公差，即可求出通项公式和；
（2）先求出，即可得出公比，求出通项公式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，；
（2），，
则公比为，
.
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