高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.3等比数列B（含答案）

一、单选题
1．若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
2．已知数列满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能确定
6．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
8．已知是数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列是等比数列 B．恒成立
C．恒成立 D．恒成立
三、填空题
9．设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
10．艾萨克·牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值，，，…，这样得到的数列称为“牛顿数列”.例如，对于方程，已知牛顿数列满足，且，设，若，则___________.
11．各项均为正数的等比数列中, ,则_______ .
12．设正项数列满足，，则数列的通项公式是______．
四、解答题
13．已知等比数列的前n项和，其中r为常数．
（1）求r的值；
（2）设，若数列{bn}中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求的值．
14．设数列满足，.
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求数列的前项和.
15．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
16．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】当n=1时，求出a1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1)
然后对a-1是否为0讨论即可
【详解】当n=1时，a1=S1=a-1;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.
故选:C
【点睛】等比数列各项都不等于0.
2．D
【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，再利用二次函数的性质求数列的最小值.
【详解】∵，，，
∴，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴．
当时，，
∵n＝1时，，∴．
，
∴当n＝3或n＝4时，取得最小值，最小值为.
故选:D
3．C
【分析】由，结合条件即可求出通项公式，注意验证是否成立
【详解】当时，，当时，，所以，而，
所以数列从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以，
故选：C．
4．B
【分析】由题意，用基本量表示，化简可得，再表示，化简可得，代入即得解
【详解】设公比为q，∵，∴q≠1.
故选：B
5．C
【分析】作差并化简得，根据，讨论差的正负即可得解.
【详解】
．
因为，，，
所以若，则，，所以，
所以；
若，则，，所以，
所以.
所以恒有．
故选：C．
6．C
【分析】根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
7．BD
【分析】利用等差数列前项和公式列方程，由此求得，进而求得.由此对选项逐一分析从而确定正确选项.
【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，
则，解得，
∴.
∵，∴，
∴数列是等比数列，B选项正确；
∵，∴，A选项错误；
，∴，C选项错误；
，，
∴，D选项正确.
故选：BD.
8．BC
【分析】根据条件写出，两式作比可得，为隔项等比数列，由，代入计算可得，代入可求出通项公式，进而求出前项和公式，从而判断选项的正误.
【详解】，故，
又，故，
故，，所以A错误，B正确；
，，所以C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：数列中出现两项的和或积时，经常令代替再写一项，两式做差或做商，从而找出隔项的关系，进而求出通项公式.
9．
【分析】由构造法和与关系求解
【详解】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
10．6
【分析】结合已知条件求出是以公比为2的等比数列，进而求出，再利用可得到.
【详解】因为，且，
所以；，
故，
即，
从而数列是以公比为2的等比数列，
故，即，
由，解得.
故答案为：6.
11．9
【解析】求出公比，根据等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为
因为，所以 ，解得(舍)，
，
则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求等比数列的前项和公式，属于基础题.
12．
【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式．
【详解】原式两边同时取对数，得，
即．设，则，
又，
所以是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以，所以．
故答案为：.
13．（1）；（2）11302.
【分析】（1）利用等比数列满足，求得r的值，再验证成立即可；
（2）列出数列的前9项，根据与数列{bn}中项的关系，计算即可.
【详解】解：（1）因为，所以；，即；
，即，由是等比数列可知，，
所以，即.此时，，
时，，且也适合该式，
故，是等比数列，即满足题意.
所以；
（2），
因为，，，，
，.
所以 .
14．（1），；（2），.
【分析】（1）利用累加法求通项公式；
（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出.
【详解】（1）由已知，当时，
，
当时，符合上式，
，.
（2）由（1）知，
①
②
①-②得
所以，，.
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
15．（1），；（2）.
【分析】（1）利用可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和；
（2）由（1）得，用错位相减法求和．
【详解】（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
【点睛】（1）错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后化归为一个等比数列的求和；
（2）用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；二是在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式.
16．（1）见解析；（2），．
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
答案第1页，共2页
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