高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.4数学归纳法B（含答案）

一、单选题
1．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
2．已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为
A．30 B．9 C．36 D．6
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
4．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，对一切都成立.那么，、、的值为（ ）.
A．， B．
C．， D．不存在这样的、、
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成
A．假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确
B．假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确
C．假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确
D．假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确
二、多选题
7．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
三、填空题
9．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
10．若，则_______．
11．已知f(x)＝（x＞0），若f1(x)＝f(x)，fn+1＝f（fn(x)），n∈N*，则猜想f2020(x)＝_____.
12．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
四、解答题
13．观察下列等式：
……
据此规律，请你猜想出第个等式并证明你的结论．
14．已知，存在自然数，使得对任意正整数，被整除，请猜测出的最大值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的．
15．用数学归纳法证明：（,）．
16．用数学归纳法证明：，其中.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】时，左边的最后一项为，时，最后一项为，由此可得由到时，左边增加的项数．
【详解】由题意，时，不等式左边，
最后一项为，
时，不等式左边，
最后一项为，
由变到时，左边增加了项,
故选：A．
2．C
【解析】依题意，可求得、、、的值，从而可猜得最大的的值为36，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】由，得，
，，
，由此猜想.
下面用数学归纳法证明：
(1)当时，显然成立。
(2)假设时， 能被36整除，即
能被36整除；
当时,
是2的倍数，
能被36整除，
当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，
的最大值为36.
故选：C.
【点睛】本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.
3．C
【详解】因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C.
【思路点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的.
4．B
【分析】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.
【详解】当时,左边等于;
当时,左边等于
，
即左边等于；
所以左边增乘的项为，
故选：B.
5．C
【详解】易知.又，故.
6．B
【详解】试题分析：注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选B．
点评：本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k﹣1能取到1，是解好本题的关键．
7．BCD
【分析】先证明是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得发现A错误，然后由递推关系利用基本不等式变成不等式，让依次减1进行归纳得出B正确，由递推式适当放缩得，这样对进行归纳得出，此不等式两边取以2为底的对数可证明选项D，对由指数幂运算法则变形为，然后证明，再结合是正整数可得证C．
【详解】，∴，是递增数列，
又，所以，，，，，A显然错误；
，∴，B正确；
对选项C，，
∴，依此类推：
，
，下证，
时，，
时，，
时，，
假设时，成立，，
则时，，
所以对任意不小于3的正整数，，
所以，又是正整数，所以，C正确；
对选项D，由选项C得，所以， D正确．
故选：BCD．
8．AD
【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD
9．
【分析】利用归纳推理，推猜出，再用数学归纳法证明即可.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，
，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
【点睛】本题本题主要考查归纳推理与数学归纳法的应用，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.
10．
【分析】类比推理到下一项即可.
【详解】，
，
所以，
故答案为：.
11．.
【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出.
【详解】由题可知，，
，
，
，
……
可以猜想，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.
12．n
【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.
【详解】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
13．，证明见解析.
【分析】根据规律写出第个等式，再应用数学归纳法证明即可.
【详解】由已知：第个等式为，
当时，显然成立；
若，成立，
那么时，，
所以都有成立.
14．36，证明见解析
【分析】猜想的最大值为36，再利用数学归纳法证明.
【详解】∵、，，
∴，，均能被36整除，猜想的最大值为36．
证明如下：
当，2时，已得证；
假设当时，能被36整除，
则当时，，
∴能被36整除．
∵不能被大于36的数整除，
∴的最大值为36．
15．证明见解析
【分析】先验证时，等式成立，再假设时，，由此需推出时，等式也成立，由此可得结论成立.
【详解】证明：①当 时，，，等式成立；
②假设 时，，
则时，
，
即时，等式成立，
综合①②可知，（，）．
16．证明见解析.
【分析】首先假设首项成立，再假设时，等式成立，在利用归纳推理证明时也成立，即可证明.
【详解】（1）当时，左边，
右边，
所以左边=右边，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
.等式成立
综上，对任何，等式都成立.
答案第1页，共2页
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