高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.4数学归纳法A（含答案）

一、单选题
1．用数学归纳法证明，则当时，等式左边应该在的基础上加上（ ）
A． B． C． D．
2．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
3．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ）
A．不能用数学归纳法判断此命题的真假
B．此命题一定为真命题
C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题
5．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
二、多选题
7．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是（ ）
A．该命题对于时命题成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与取值无关
D．以上答案都不对
三、填空题
9．平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．
10．利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.
11．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.
12．利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数_______.
四、解答题
13．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是
14．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
15．在数列中，，其中实数．
（1）求的值并猜测数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜测．
16．用数学归纳法证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由n=k+1时，等式左端可得答案.
【详解】当n=k时，等式左端，
当n=k+1时，等式左端，增加了项．
故选：D．
2．C
【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.
【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时
假设当时不等式成立，左边=
则当时，左边=
则由递推到时不等式左边增加了：
共，
故选：C
3．B
【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．
【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．
故选：B．
4．B
【分析】直接用数学归纳法证明即可．
【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；
②假设时，等式成立，
即，则当时，
，
即当时，等式成立．综上，对任意，
等式恒成立，
故选：B．
5．D
【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【详解】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D
6．B
【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立．
【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
7．CD
【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.
【详解】当时，，不合要求，舍去
当时，，不合要求，舍去；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
下证：当时，成立，
当时，成立，
假设当时，均有，解得：
当时，有，
因为，
所以成立，
由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，
故选：CD
8．AB
【分析】利用数学归纳法原理可判断各选项的正误.
【详解】命题对于时成立，那么它对于也成立，
若当时命题成立，则对时命题成立，从而对时命题成立，
假设当时命题成立，则当时命题也成立，
因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当为奇数时，无法确定该命题的真假.
故选：AB.
9．
【分析】根据题中已知可得出第条直线和前条直线都相交时交点数最多，可得答案.
【详解】由已知，平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，
即第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，此时交点数最多，
交点数为，
故答案为：
10．
【分析】考查等式两侧的特点，写出左侧和的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项．
【详解】当时，等式为，
当时，等式为，
因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.
故答案为：.
【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查数学归纳法证明问题的第二步，项的增加问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键，考查推理能力，属于基础题.
11．
【详解】凸边形的内角和比凸边形的内角和多出一个三角形的内角和，即，
所以.
12．3
【解析】凸多边形至少是三角形，由此确定．
【详解】多边形中三角形的对角线条数可认为是0，四边形有两条对角线，因此第一个自然数可以是．
故答案为：3
【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的证明步骤是解题基础．
13．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.
【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.
【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；
（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.
14．证明见解析
【分析】直接用数学归纳法的步骤，一步步的证明即可.
【详解】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．
则当n＝k＋1时，
1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，
即当n＝k＋1时成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．
15．（1），，，猜测：.（2）见解析.
【分析】（1）计算后可猜测数列的通项为.
（2）用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由可以得到，
，
，
猜测：.
（2）用数学归纳法证明如下：
当时，等式成立；
设当时，有，
则当时，
，
故当时，等式也成立，
由数学归纳法可知，.
【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题.注意用数学归纳法证明等式、不等式等问题时注意用归纳假设去进行归纳证明.
16．证明见解析
【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当时等式成立，再假设当时等式成立，代入化简得时成立即可.
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时等式成立，即
．
那么当时，
，等式也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
原等式得证.
【点睛】本题考查了数学归纳法在证明数列等式中的应用，应用“当时等式成立”这个假设条件，确定时的等式形式，是数学归纳法第②步证明中的要点，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页