高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.2等差数列A（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.2等差数列A（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 376.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-12 15:36:40 | ||
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文档简介
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
3．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
6．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为
8．（多选）在无穷等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．中的第503项是中的第2021项
三、填空题
9．已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为_______.
10．已知等差数列和的前项和分别为和，若，则______．
11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
12．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
四、解答题
13．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
14．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
15．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
16．已知公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2+a5＝22．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由已知，根据题意可判断该数列根据当时取得最大值，即可得到不等关系式，将代入即可求解出公差d的取值范围.
【详解】由已知可得，即，解得，
故选：A．
2．C
【分析】依题意数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出的取值范围，最后根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．
故选：C．
3．A
【分析】推导出年的天干与地支，由此可得出结果.
【详解】由题意知，天干是公差为的等差数列，地支为公差为的等差数列，
且，，
因为年为辛丑年，则年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到年为辛酉年，
故选：A.
4．C
【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案
【详解】因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
5．C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
6．A
【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；
【详解】解：由，有，得．
故选：A
7．ABC
【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．
【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，
奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；
由此可得，故A正确；
，故B正确；
是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，
不可能有，故D错误．
故选：ABC．
8．AC
【分析】由已知，求出通项，再结合选项分析即可.
【详解】∵，，∴，故C正确；
数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，
∴，，故A正确，B错误；
对于D，设数列中的第m项是数列中的第k项，
则，∴当时，，
即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误．
故选：AC
9．2
【分析】由题意列出关于公差的方程，解方程即可．
【详解】设数列的公差为，则由可得：
，
化简可得，解得，
故答案为：2．
10．
【分析】根据等差数列的求和公式和性质即可求解.
【详解】.
故答案为：.
11．4.
【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因，所以，即，
所以．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
12．-21
【分析】设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解；
【详解】解：设这三个数为，，，
则
解得或
这三个数为，，或，，.
它们的积为
故答案为：
13．（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
14．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
（1）
解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
（2）
解：由（1）可得，
所以．
15．（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：
16．（1）an＝-4n＋25；（2）66.
【解析】（1）根据等差数列下标和性质得到，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式及二次函数的性质求出的最大值；
【详解】解：（1）因为数列为等差数列，所以，
所以，解得或，
又数列的公差，
所以，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以，
所以当时，最大，最大值为．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
3．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64 B．96 C．128 D．160
6．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为
8．（多选）在无穷等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．中的第503项是中的第2021项
三、填空题
9．已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为_______.
10．已知等差数列和的前项和分别为和，若，则______．
11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
12．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
四、解答题
13．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
14．已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
15．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
16．已知公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2+a5＝22．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由已知，根据题意可判断该数列根据当时取得最大值，即可得到不等关系式，将代入即可求解出公差d的取值范围.
【详解】由已知可得，即，解得，
故选：A．
2．C
【分析】依题意数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出的取值范围，最后根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．
故选：C．
3．A
【分析】推导出年的天干与地支，由此可得出结果.
【详解】由题意知，天干是公差为的等差数列，地支为公差为的等差数列，
且，，
因为年为辛丑年，则年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到年为辛酉年，
故选：A.
4．C
【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案
【详解】因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
5．C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
6．A
【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；
【详解】解：由，有，得．
故选：A
7．ABC
【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．
【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，
奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；
由此可得，故A正确；
，故B正确；
是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，
不可能有，故D错误．
故选：ABC．
8．AC
【分析】由已知，求出通项，再结合选项分析即可.
【详解】∵，，∴，故C正确；
数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，
∴，，故A正确，B错误；
对于D，设数列中的第m项是数列中的第k项，
则，∴当时，，
即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误．
故选：AC
9．2
【分析】由题意列出关于公差的方程，解方程即可．
【详解】设数列的公差为，则由可得：
，
化简可得，解得，
故答案为：2．
10．
【分析】根据等差数列的求和公式和性质即可求解.
【详解】.
故答案为：.
11．4.
【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因，所以，即，
所以．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
12．-21
【分析】设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解；
【详解】解：设这三个数为，，，
则
解得或
这三个数为，，或，，.
它们的积为
故答案为：
13．（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
14．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．
（1）
解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
（2）
解：由（1）可得，
所以．
15．（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：
16．（1）an＝-4n＋25；（2）66.
【解析】（1）根据等差数列下标和性质得到，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式及二次函数的性质求出的最大值；
【详解】解：（1）因为数列为等差数列，所以，
所以，解得或，
又数列的公差，
所以，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以，
所以当时，最大，最大值为．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页