高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.3等比数列C（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学（人教A版2019）选择性必修第二册分层练——4.3等比数列C（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-12 15:38:15 | ||
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文档简介
一、单选题
1．已知数列，且满足，，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，当时，有：
B．若，则
C．当时，是递增数列；当时，是递减数列
D．存在，使恒成立
2．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，设的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
二、多选题
7．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
8．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（ ）
A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和
三、填空题
9．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________.
10．已知公比的等比数列{}满足，．若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是___．
11．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
12．已知为数列的前项和，，则________
四、解答题
13．设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．
14．已知数列，，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列和的通项公式.
（2）记，求数列的前项和.
（3）.
15．已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和
16．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先根据题目条件得到，，及与的符号相同.
选项A，在等式两边减去8，再变形得，代入求解即可；
选项B，先确定数列为递增数列，再算出，
而后利用放缩法得到，当时，，因为存在正整数，当时，有，所以，故选项B错误；
选项C，利用与的符号相同可判定；
选项D，分，和讨论的范围.
【详解】由题知，，，
因为，所以，
所以，，.
因为，所以，
两式相减整理得，，
因为时，，所以，与的符号相同，
选项A：由得，
，，
若，则，所以.
当时，
，故选项A正确；
选项B：若，则，
因为，所以，依次类推有，
所以数列是递增数列；
又，
，
当时，，
因为，所以存在正整数，当时，有
此时，故选项B错误；
选项C：当时，有，所以，从而有，
依次类推可得，所以数列是递增数列；
当时，因为，所以，
所以，从而有，依次类推可得，
所以数列是递减数列，故选项C正确；
选项D：当时，由选项C的解析知，数列是递减数列，所以；
当时，由解得，又，所以，
同理可推导，依次类推，有；
当时，由及得，同理可推导，依次类推，有；
令为和中的最大者，则对恒成立，故选项D正确；
故选：B.
2．A
【分析】依次计算得到第次操作后面积，
按照等比数列求和得到，再由时，得到结果即可.
【详解】由题意知，初始三角形的面积，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积；
第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积；；
第次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积
，
当时，，.
故选：A.
3．C
【分析】由条件求得的通项公式后求解
【详解】，则，即，
得，故是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
，
．
故选：C
4．C
【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．A
【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.
【详解】由，，
得，
所以，，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
，
故，，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据已知条件可得，即得，由，得，由数列的单调性可判断选项A，B；由关系式可得，，从而可判断数列的最大项和最小项.
【详解】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，
故选项B错误；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．
故选：B．
【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.
7．ACD
【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.
【详解】因为，所以，
从而，，所以，
所以，又，是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，即，
又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，
所以是递增数列，故A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，所以不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而，
于是，，故C正确.
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数列单调性的一般判断步骤：
（1）先计算的结果，然后与比较大小（也可以计算的值，然后与比较大小，但要注意项的符号）；
（2）下结论：若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列.
8．ACD
【分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项即可求解.
【详解】解：由题意，第n个括号有个数，
对A：前9个括号内一共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故选项A正确；
对C：前10个括号内一共有个数，故选项C正确；
对B：令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故选项B错误；
对D：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，故选项D正确；
故选：ACD.
9．
【分析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题，再对n分奇数和偶数进行讨论，分别求解出的取值范围，最后综合得出结果.
【详解】根据题意，
，.
①当n是奇数时，，
即对任意正奇数n恒成立，当时，有最小值1，
所以.
②当n是正偶数时，，
即，又，故对任意正偶数n都成立，又随n增大而增大，当时，有最小值，即，
综合①②可知.
故答案为：.
10．
【分析】根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算可得答案.
【详解】解：由得，即，
又，所以解得，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，
又因为是递增数列，所以恒成立，
即恒成立，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者.
11．
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，，时，的解析式，进而求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进而求出,即可求解.
【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，
，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，
，令，则，，有
，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有
故答案为：
12．.
【分析】依题意对进行奇偶分析得：当为奇数时，；当为偶数时，，进而可求得结果.
【详解】当时，，由得（），
当为偶数时，，则，即当为奇数时，；
当为奇数时，，则，即当为偶数时，.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求得：当为奇数时，；当为偶数时，.
13．（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知利用与的关系得，当时，，即，即可证得结论，写出其通项公式，即可求得结果；
（Ⅱ）知，利用错位相减法求数列的前项和；
（Ⅲ）知，则，利用放缩法知，再结合分组求和及等比数列的求和公式可证得结论.
【详解】（Ⅰ）由得，当时，
两式作差得：，即，即，
令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
两式作差得：
所以．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，则，
恒成立，，即
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查求一般数列的通项公式及一般数列的求和，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.
14．（1），；（2）；（3）.
【分析】(1)由递推公式探讨出数列任意相邻两项的关系得，由等差数列的已知求出其首项和公差得；
(2)由(1)求出数列的通项公式，再分组求和得解；
(3)对和式从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.
【详解】（1）因，时，，
则有，即，而时，，即，
∴是首项，公比为3的等比数列，从而；
设等差数列的公差d，而，依题意，
，，，所以；
（2）由(1)知，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
∴
（3）
所以是数列的前n项和，
设的前项和为，
，
，
即，
∴.
【点睛】思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）由可得，两式作差即可得数列的递推关系，即可求通项，最后验证是否符合即可；数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可；
（2）由题，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可
（1）
由可得，
两式相减可得，故数列从第3项开始是以首项为，公比的等比数列.
又由已知，令，得，即，得，故；
又也满足上式，则数列的通项公式为；
由，得：，
以上个式子相乘，可得，，
又满足上式，所以的通项公式
（2）
若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，
整理得，所以，
，
两式相减得：，
所
16．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知数列，且满足，，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，当时，有：
B．若，则
C．当时，是递增数列；当时，是递减数列
D．存在，使恒成立
2．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，设的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
二、多选题
7．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
8．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（ ）
A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内
C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和
三、填空题
9．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________.
10．已知公比的等比数列{}满足，．若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是___．
11．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
12．已知为数列的前项和，，则________
四、解答题
13．设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．
14．已知数列，，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列和的通项公式.
（2）记，求数列的前项和.
（3）.
15．已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和
16．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先根据题目条件得到，，及与的符号相同.
选项A，在等式两边减去8，再变形得，代入求解即可；
选项B，先确定数列为递增数列，再算出，
而后利用放缩法得到，当时，，因为存在正整数，当时，有，所以，故选项B错误；
选项C，利用与的符号相同可判定；
选项D，分，和讨论的范围.
【详解】由题知，，，
因为，所以，
所以，，.
因为，所以，
两式相减整理得，，
因为时，，所以，与的符号相同，
选项A：由得，
，，
若，则，所以.
当时，
，故选项A正确；
选项B：若，则，
因为，所以，依次类推有，
所以数列是递增数列；
又，
，
当时，，
因为，所以存在正整数，当时，有
此时，故选项B错误；
选项C：当时，有，所以，从而有，
依次类推可得，所以数列是递增数列；
当时，因为，所以，
所以，从而有，依次类推可得，
所以数列是递减数列，故选项C正确；
选项D：当时，由选项C的解析知，数列是递减数列，所以；
当时，由解得，又，所以，
同理可推导，依次类推，有；
当时，由及得，同理可推导，依次类推，有；
令为和中的最大者，则对恒成立，故选项D正确；
故选：B.
2．A
【分析】依次计算得到第次操作后面积，
按照等比数列求和得到，再由时，得到结果即可.
【详解】由题意知，初始三角形的面积，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积；
第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积；；
第次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积
，
当时，，.
故选：A.
3．C
【分析】由条件求得的通项公式后求解
【详解】，则，即，
得，故是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
，
．
故选：C
4．C
【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．A
【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.
【详解】由，，
得，
所以，，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
，
故，，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据已知条件可得，即得，由，得，由数列的单调性可判断选项A，B；由关系式可得，，从而可判断数列的最大项和最小项.
【详解】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，
故选项B错误；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．
故选：B．
【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.
7．ACD
【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.
【详解】因为，所以，
从而，，所以，
所以，又，是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，即，
又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，
所以是递增数列，故A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，所以不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而，
于是，，故C正确.
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数列单调性的一般判断步骤：
（1）先计算的结果，然后与比较大小（也可以计算的值，然后与比较大小，但要注意项的符号）；
（2）下结论：若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列.
8．ACD
【分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项即可求解.
【详解】解：由题意，第n个括号有个数，
对A：前9个括号内一共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故选项A正确；
对C：前10个括号内一共有个数，故选项C正确；
对B：令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故选项B错误；
对D：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，故选项D正确；
故选：ACD.
9．
【分析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题，再对n分奇数和偶数进行讨论，分别求解出的取值范围，最后综合得出结果.
【详解】根据题意，
，.
①当n是奇数时，，
即对任意正奇数n恒成立，当时，有最小值1，
所以.
②当n是正偶数时，，
即，又，故对任意正偶数n都成立，又随n增大而增大，当时，有最小值，即，
综合①②可知.
故答案为：.
10．
【分析】根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算可得答案.
【详解】解：由得，即，
又，所以解得，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，
又因为是递增数列，所以恒成立，
即恒成立，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者.
11．
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，，时，的解析式，进而求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进而求出,即可求解.
【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，
，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，
，令，则，，有
，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有
故答案为：
12．.
【分析】依题意对进行奇偶分析得：当为奇数时，；当为偶数时，，进而可求得结果.
【详解】当时，，由得（），
当为偶数时，，则，即当为奇数时，；
当为奇数时，，则，即当为偶数时，.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求得：当为奇数时，；当为偶数时，.
13．（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知利用与的关系得，当时，，即，即可证得结论，写出其通项公式，即可求得结果；
（Ⅱ）知，利用错位相减法求数列的前项和；
（Ⅲ）知，则，利用放缩法知，再结合分组求和及等比数列的求和公式可证得结论.
【详解】（Ⅰ）由得，当时，
两式作差得：，即，即，
令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
两式作差得：
所以．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，则，
恒成立，，即
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查求一般数列的通项公式及一般数列的求和，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.
14．（1），；（2）；（3）.
【分析】(1)由递推公式探讨出数列任意相邻两项的关系得，由等差数列的已知求出其首项和公差得；
(2)由(1)求出数列的通项公式，再分组求和得解；
(3)对和式从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.
【详解】（1）因，时，，
则有，即，而时，，即，
∴是首项，公比为3的等比数列，从而；
设等差数列的公差d，而，依题意，
，，，所以；
（2）由(1)知，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
∴
（3）
所以是数列的前n项和，
设的前项和为，
，
，
即，
∴.
【点睛】思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）由可得，两式作差即可得数列的递推关系，即可求通项，最后验证是否符合即可；数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可；
（2）由题，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可
（1）
由可得，
两式相减可得，故数列从第3项开始是以首项为，公比的等比数列.
又由已知，令，得，即，得，故；
又也满足上式，则数列的通项公式为；
由，得：，
以上个式子相乘，可得，，
又满足上式，所以的通项公式
（2）
若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，
整理得，所以，
，
两式相减得：，
所
16．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
答案第1页，共2页
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