苏教版（2019）高中数学必修第二册 第11章_11.1_余弦定理_课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
11.1余弦定理
第十一章 解三角形
1.掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法.
2.会运用余弦定理解决基本的解三角形问题.
学习目标
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦 定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于 ______________________
__________________________________
公式 表达 a2＝________________，
b2＝________________，
c2＝__________________
其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
知识梳理
余弦定理 推论 cos A＝______________，
cos B＝______________，
cos C＝______________
思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识梳理
知识点二　解三角形
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作 .
元素
解三角形
知识梳理
1.余弦定理适用于任何三角形.(　　)
2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
×
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
一、已知两边及一角解三角形
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
题型探究
解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
A＝90°，C＝60°.
题型探究
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
反思感悟
2
解得c＝2.
题型探究
3
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即3b2－8b－3＝0，
题型探究
二、已知三边解三角形
题型探究
题型探究
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.
反思感悟
跟踪训练2　 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
又∵0°∴最大角A为120°.
题型探究
三、余弦定理的简单应用
例3　 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac ，则角B的大小是
A.45° B.60° C.90° D.135°
√
又0°题型探究
(2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
题型探究
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2反思感悟
跟踪训练3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
√
解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形.
题型探究
四、余弦定理在实际问题中的应用
例4　如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.
题型探究
解　在△ABC中，AC＝15 m，
由余弦定理得
题型探究
在Rt△ACD中，
题型探究
解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语.
反思感悟
跟踪训练4　某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的距离.
解　依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB
＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.
∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km.
题型探究
3
随堂演练
PART THREE
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√
解析　设第三条边长为x，
随堂演练
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√
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
随堂演练
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√
随堂演练
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4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是______三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
即c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形.
直角
随堂演练
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5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
解析　在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos C
＝12＋12－2×1×1×cos 120°＝3.
随堂演练
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理的简单应用.
(3)余弦定理在实际问题中的应用
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽略三角形中的隐含条件.
课堂小结
4
课时对点练
PART FOUR
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为
A.30° B.60° C.45° D.90°
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又0°基础巩固
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2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
√
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
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3.(多选)在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，则c的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
√
√
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即72＝82＋c2－16ccos 60°，
即c2－8c＋15＝0，
解得c＝3或c＝5.
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√
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
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所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
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6.为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，则隧道DE的长为 m.
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解析　在△ABC中，AC＝400 m，BC＝600 m，∠ACB＝60°.
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos 60°，
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解析　由余弦定理，可得
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8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
解析　由题意得，a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
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∴A＝120°.
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解　由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
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解　在△ABC中，由余弦定理，得
所以在△ACD中，由余弦定理得，
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解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
综合运用
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解析　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
综合运用
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解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立.
故选B.
综合运用
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解析　设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
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由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
综合运用
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解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
∴7拓广探究
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又0拓广探究
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(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.
解　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
又0拓广探究