苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.1_余弦定理_课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
11.1 余弦定理
问题1　我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
提示　在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos C.这个公式是余弦定理的形式之一.当C＝90°时，则cos C＝0，将cos C＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.
问题2　你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？
提示　利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A可求出BC的长.
情景引入
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
检测反馈
1
知识梳理
PART ONE
1.余弦定理的表示及其推论
余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具
平方
平方的和
积的两
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
知识梳理
知识梳理
2
题型探究
PART ONE
题型一　已知两边及一角解三角形
解　由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
∵0°∵0°综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
题型探究
规律方法　已知两边及一角解三角形的方法
利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.
题型探究
【训练1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
解　5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.
∴c＝4.
题型探究
题型二　已知三边解三角形
【例2】　在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，
求其最大内角.
由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解
解　由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.
由余弦定理推论得：
∵0°题型探究
【训练2】　若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
题型探究
解析　∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)，解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.
答案　C
题型探究
题型三　
判断三角形形状
在余弦定理中注意整体思想的运用，如b2＋c2－a2＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等
【例3】　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
题型探究
解　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，
题型探究
规律方法　判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
题型探究
3
检测反馈
PART ONE
1.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析　∵b2＝ac，B＝60°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形.
答案　D
检测反馈
检测反馈
解析　∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得
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4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.
解析　设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
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