苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.1_余弦定理_练习（解析版）

11.1 余弦定理
一、选择题
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)
A. B. C. D.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A.45° B.60° C.90° D.135°
4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝(　　)
A. B. C.－ D.－
5.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
二、填空题
6.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝________.
7.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是______.
8.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝______.
三、解答题
9.已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求角A的大小.
10.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
能力提升
11.已知三角形三边长为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________.
12.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
创新猜想
13.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2
14.(多填题)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________.
11.1 余弦定理答案
一、选择题
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝，选A.
【答案】　A
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】　由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，
得cos B＝＝＝.
【答案】　B
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A.45° B.60° C.90° D.135°
【解析】　因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
又0°【答案】　A
4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝(　　)
A. B. C.－ D.－
【解析】　由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C
＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，
∴c＝5.
∴cos B＝＝＝.
【答案】　A
5.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
【解析】　设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.
【答案】　D
二、填空题
6.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝________.
【解析】　bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
【答案】　2
7.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是______.
【解析】　设中间角为θ，则cos θ＝＝，
又θ∈(0，π)，θ＝，所以最大角与最小角和为π－＝.
【答案】　
8.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝______.
【解析】　由题意得a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，
cos A＝＝＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝.
【答案】　
三、解答题
9.已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求角A的大小.
解　∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
由余弦定理得，cos A＝＝，
∵0°10.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解　在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
知B＝60°，a＋c＝8，ac＝15，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.
∴b＝.
能力提升
11.已知三角形三边长为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________.
【解析】　易知>a，>b，
设最大角为θ，
则cos θ＝＝－，
又∵0°<θ<180°，∴θ＝120°.
【答案】　120°
12.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
解　(1)cos C＝cos[180°－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－.
又∵0°(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
创新猜想
13.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2
【解析】　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4.
【答案】　AC
14.(多填题)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________.
【解析】　由余弦定理，可得
cos A＝＝＝，
又0则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
【答案】　　
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