苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.1_余弦定理_教学设计

第十一章 解三角形
11.1 余弦定理
学习本章之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索研究．通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活．
课程目标 学科素养
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. a逻辑推理: 通过运用向量方法得出余弦定理，培养逻辑推理素养. b数学运算: 通过运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，提升数学运算素养.
1.教学重点：证明余弦定理的向量方法.
2.教学难点：通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.
多媒体调试、讲义分发。
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
问题1　我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
提示　在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos C.这个公式是余弦定理的形式之一.当C＝90°时，则cos C＝0，将cos C＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.
问题2　你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？
提示　利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A可求出BC的长.
　
余弦定理的表示及其推论
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
题型一　已知两边及一角解三角形
【例1】　在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
解　由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
∵0°当c＝6时，cos A＝＝，
∵0°综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
规律方法　已知两边及一角解三角形的方法
利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.
【训练1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
解　5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.
解得x1＝，x2＝－2.
又cos C∈(－1，1)，且cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，
∴cos C＝.
据余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋33－2×5×3×＝16.
∴c＝4.
题型二　已知三边解三角形
【例2】　在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.
解　由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.
由余弦定理推论得：
cos C＝＝＝－，
∵0°规律方法　已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.
【训练2】　若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
解析　∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)，
解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.
由余弦定理可得cos C＝＝－<0，
∵0答案　C
题型三　判断三角形形状
【例3】　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
解　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形.
规律方法　判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
1.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析　∵b2＝ac，B＝60°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
答案　D
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长是________.
解析　设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2.
答案　2
3.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________.
解析　∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得
cos C＝＝＝.
又C∈(0，π)，∴C＝.
答案　
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.
解析　设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
由余弦定理，得cos α＝＝.
答案　
余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
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