苏教版（2019）高中数学必修第二册 第11章_11.2_第2课时_正弦定理的应用_课件(共62张PPT)

(共62张PPT)
11.2第二课时正弦定理的应用
第十一章 解三角形
1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.
2.理解三角形面积公式及解三角形的含义.
3.能用正弦定理解决简单的实际问题.
学习目标
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　三角形面积公式
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积
S△ABC＝_________＝__________＝_________.
知识梳理
知识点二　仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角，如图所示.
上方
下方
知识梳理
2.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)
3.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
√
√
知识梳理
2
题型探究
PART TWO
例1　 (1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
一、判断三角形形状
解析　由正弦定理得，acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，即A＝B，即△ABC为等腰三角形.
√
题型探究
(2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
题型探究
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
题型探究
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
反思感悟
跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知3b＝2 asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
√
题型探究
又角A是锐角，所以A＝60°.
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.
故△ABC为等边三角形，故选D.
题型探究
(2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
解析　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，
sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，
∵0题型探究
二、三角形面积公式及其应用
√
√
题型探究
又AB·sin B所以C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，
当C＝120°时，A＝30°，
题型探究
1∶4
得sin B∶sin C＝b∶c＝1∶4.
题型探究
反思感悟
题型探究
∴0°题型探究
三、用正弦定理解决简单的实际问题
例3　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为________ m.
题型探究
解析　方法一　设AB＝x m，则BC＝x m.
方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
题型探究
题型探究
在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
反思感悟
跟踪训练3　要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为
(参考数据： ≈2.45，sin 75°≈0.97)
A.170 m B.98 m C.95 m D.86 m
√
题型探究
解析　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，
即河宽约为95 m.
题型探究
3
随堂演练
PART THREE
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√
随堂演练
2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
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√
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.
随堂演练
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin A＋bsin B
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
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√
解析　根据正弦定理可得a2＋b2随堂演练
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解析　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，
随堂演练
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1
解析　∵sin B＝2sin A，∴b＝2a，
又a＋c＝3，∴c＝3－a，
整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).
随堂演练
1.知识清单：
(1)三角形面积公式及其应用.
(2)判断三角形的形状.
(3)利用正弦定理解决简单的实际问题.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.
课堂小结
4
课时对点练
PART FOUR
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√
故选B.
基础巩固
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基础巩固
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∴acos A＝bcos B，
由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
又∵0°∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
基础巩固
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3.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
√
解析　设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.
∵AC＝3，AB＝6，
且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，
解得x＝2.
基础巩固
4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是
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解析　如图，
依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10海里，
在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，
所以这艘船的速度是10海里/时.
基础巩固
5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是
A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A
C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c
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√
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基础巩固
解析　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；
对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B＝bsin A ab＝ab，故B正确；
对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B
sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；
对于D, 根据正弦定理的边角互化可得，
sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，
又sin B≠0，所以cos C＝cos A，只有当A＝C时，等式成立，故D不正确.
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解析　由a2＋b2－c2＝ab，
基础巩固
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45°
∴B＝45°.
基础巩固
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8.在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin Bsin C，则△ABC的形状为________三角形.
等边
解析　由sin2A＝sin Bsin C和正弦定理，得a2＝bc.因为2a＝b＋c，
整理得(b－c)2＝0，所以b＝c.
基础巩固
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9.已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状.
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解　设方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝bcos A，x1x2＝acos B，
由题意得bcos A＝acos B.
由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B(R为△ABC外接圆的半径)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
在△ABC中，0∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
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10.如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离.
解　在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠B＝45°，AC＝60 km，
基础巩固
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为
A.16π B.8π C.2π D.4π
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综合运用
在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C，
解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.
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解析　因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，
综合运用
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综合运用
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解析　因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
又B＝45°，DA＝7，
综合运用
13.在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，则△ABC的形状为______________ .
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直角三角形
解析　∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，
∴由正弦定理，
得sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C，
即sin Bsin C＝cos Bcos C，
∴cos(B＋C)＝0，又∵0°∴A＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
综合运用
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14.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了.考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A＝50°，B＝55°，AB＝120 m，则此金字塔的高约为_____m.
78
综合运用
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解析　先分别从A，B出发延长断边，确定交点C(图略)，
则C＝180°－A－B＝75°，
设高为h，则h＝AC·sin A＝101.8×sin 50°≈78(m).
综合运用
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等腰三角形
拓广探究
解析　∵c＝2acos B，
∴根据正弦定理可得，sin C＝2sin Acos B，
即sin(A＋B)＝2sin Acos B，
∴sin(A－B)＝0，
∴A＝B，
∴△ABC的形状为等腰三角形.
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拓广探究
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∴sin C＝cos C，即tan C＝1，
∵C∈(0，π)，
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(1)求△ACD的面积；
拓广探究
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因为D∈(0，π)，
因为AD＝1，CD＝3，
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解　在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AB＝4.
拓广探究