苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.2正弦定理 教学设计

第十一章 解三角形
11.2 正弦定理
在教科书中，注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则，让学生自主体验数学在解决问题中的作用，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识；注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值．
课程目标 学科素养
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题. a逻辑推理: 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养. B数学运算: 通过运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养.
1.教学重点：能用正弦定理解决简单的解三角形问题.
2.教学难点：借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
多媒体调试、讲义分发。
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？
问题1　如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
提示　＝＝＝c.
问题2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？
提示　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.
正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.
(2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).
题型一　已知两角及一边解三角形
【例1】　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解　根据正弦定理，得
a＝＝＝10.
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
规律方法　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
【训练1】　在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
解　因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，
故B角最小，所以b为最短边，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝，
故所求的最短边长为.
题型二　已知两边及一边的对角解三角形
已知两边及一边的对角时，三角形的解的情况不确定，解题时注意不要漏解
【例2】　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c.
解　由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
规律方法　已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
【训练2】　已知在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，解此三角形.
解　由正弦定理，得sin C＝＝＝，
又c>a，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝－1.
题型三　判断三角形的形状
【例3】　(1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形；
(2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形.
解析　(1)由正弦定理＝，得＝.
又acos B＝bcos A，所以＝，
所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，
即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0，
∵A，B是三角形内角，
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.
(2)由正弦定理＝，得＝.
又acos A＝bcos B，所以＝，
所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B为三角形内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案　(1)等腰　(2)等腰或直角
规律方法　利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.
【训练3】　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
解　在△ABC中，由正弦定理得
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径).
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴＝＋，
即a2＝b2＋c2，∴A＝90°，∴B＋C＝180°－A＝90°.
又sin A＝2sin Bcos C，∴sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝.
∵B是锐角，∴sin B＝，∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.)
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A. B. C. D.1
解析　依题意，由＝，得＝，得sin B＝，选B.
答案　B
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A.4 B.2 C. D.
解析　由正弦定理＝，得＝，
所以AC＝×＝2.
答案　B
3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
解析　由sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，
得a∶b∶c＝3∶4∶5.不妨设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，
则有c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形.
答案　A
4.在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________.
解析　由正弦定理，得sin B＝＝.
∵b>a，∴B>A，且0°答案　60°或120°
利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
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