苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.3余弦定理、正弦定理的应用 教学设计

第十一章 解三角形
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地．从这一角度看，正弦定理和余弦定理的证明让学生经历了运用向量工具解决三角形的度量问题的过程，并为学生运用向量工具解决三角形的度量问题留有余地，进而对运用向量解决几何度量问题奠定了基础．
课程目标 学科素养
1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题. 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. a数学建模: 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解决简单的实际问题，提升数学建模素养. b数学运算: 通过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培养数学运算素养.
1.教学重点：利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.
2.教学难点：深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.
多媒体调试、讲义分发。
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.
问题　8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？
提示　对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
相关术语　 特别注意方位角、方向角、仰角、俯角等有关概念的实质
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
题型一　距离问题
【例1】　如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.
在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解
解　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.
在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，
在△CBD中，由正弦定理得
BC＝＝2sin(30°＋45°)
＝2sin 30°cos 45°＋2cos 30°sin 45°＝.
在△ACB中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
∴AB2＝()2＋－2×××cos 75°
＝5＋－(3＋)(cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°)
＝5，
∴AB＝.故两目标A，B间的距离为千米.
规律方法　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
【训练1】　某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)
A.15 km B.30 km
C.15 km D.15 km
解析　设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C处，如图所示.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
在△ABC中，由正弦定理，
可得AC＝＝×＝15.
即船与灯塔的距离是15 km.故选A.
答案　A
题型二　高度问题
【例2】　如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解　如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，设CD＝x m，
则AE＝(x－20) m，
∵tan 60°＝，
∴BD＝＝＝x m.
在△AEC中，x－20＝x，解得x＝10(3＋)m.
故山高CD为10(3＋)m.
规律方法　求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法是：
(1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形；
(2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
【训练2】　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.
解析　由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100 m，所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150 m.
答案　150 m
题型三　角度问题
【例3】　某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向.
解　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20(海里)，
AC＝20(海里).
由题意AB＝20(＋1)(海里)，
DC＝20(海里)，
BC＝(＋1)·10＝10(＋)(海里).
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos ∠BAC＝＝.
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
规律方法　求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：
(1)明确各个角的含义；
(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；
(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
【训练3】　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
解　设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝，
∵＝，
∴sin ∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵＝，
∴sin ∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A.12 m B.8 m
C.2 m D.4 m
解析　在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，
C＝180°－30°×2＝120°.
所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°
＝42＋42－2×4×4×＝48，
∴AB＝4(m).
答案　D
2.海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
解析　依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
则C＝180°－A－B＝45°，
由正弦定理得，
BC＝＝
＝5.
答案　D
3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
解析　在△ADC中，由正弦定理得
AD＝＝10(＋1)，
在Rt△ABD中，AB＝ADsin 30°＝5(＋1)(m).
答案　D
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.
解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos ∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案　45°
在研究三角形时，灵活利用两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
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