苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.3_余弦定理、正弦定理的应用_课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.
问题　8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？
提示　对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
情景引入
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
检测反馈
1
知识梳理
PART ONE
1.基线的概念与选择原则
(1)基线的定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
(2)选择基线的原则
在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线_______，测量的精确度越高.
越长
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2.相关术语
特别注意方位角、方向角、仰角、俯角等有关概念的实质
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_______时叫仰角，目标视线在水平视线_______时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
指从___________顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
上方
下方
正北方向
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(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
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3.解三角形应用题
(1)解题思路
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(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
知识梳理
2
题型探究
PART ONE
题型一　距离问题
目标A，B之间的距离.
在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解
题型探究
在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，
在△CBD中，由正弦定理得
在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
题型探究
规律方法　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
题型探究
【训练1】　某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行
45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)
解析　设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C处，如图所示.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
答案　A
题型探究
题型二　高度问题
【例2】　如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
题型探究
解　如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
题型探究
规律方法　求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法是：
(1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形；
(2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
题型探究
【训练2】　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.
答案　150 m
题型探究
题型三　
角度问题
明确方向角及方位角的概念，准确作出图形是解决此类问题的关键
解　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20(海里)，AC＝20(海里).
题型探究
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为北偏西45°.
题型探究
规律方法　求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：
(1)明确各个角的含义；
(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；
(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
题型探究
题型探究
解　设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
题型探究
3
检测反馈
PART ONE
1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
解析　在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.
所以由余弦定理得
答案　D
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2.海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
解析　依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
则C＝180°－A－B＝45°，
答案　D
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3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)
答案　D
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4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.
又CD＝50，所以在△ACD中，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案　45°
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