苏教版（2019）高中数学必修第二册 11.3_余弦定理、正弦定理的应用_练习（解析版）

第十一章 解三角形
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
一、选择题
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　)
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为(　　)
A.2 km B.6 km
C.2 km D.8 km
4.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)
A.2h米 B.h米
C.h米 D.2h米
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. C.－1 D.－1
二、填空题
6.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m)
7.一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km.
8.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝______.
三、解答题
9.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.
10.某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
能力提升
11.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.若AB＝BD，则B，D间距离为________ km.
12.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝.
创新猜想
13.(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　)
A. B.2 C.2 D.3
14.(多填题)甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是________米，乙楼的高是________米.
第十一章 解三角形
11.3 余弦定理、正弦定理的应用答案
一、选择题
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
【答案】　D
2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　)
A.d1>d2 B.d1C.d1>20 m D.d2<20 m
【解析】　由tan 50°＝，tan 40°＝及tan 50°>tan 40°可知，d1【答案】　B
3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为(　　)
A.2 km B.6 km
C.2 km D.8 km
【解析】　如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，
由余弦定理，得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos ∠ACD
＝12＋48－2×2×4×＝36.
解得AD＝6.即该船实际航程为6 km.
【答案】　B
4.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)
A.2h米 B.h米
C.h米 D.2h米
【解析】　如图所示，BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h.
【答案】　A
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. C.－1 D.－1
【解析】　在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
【答案】　C
二、填空题
6.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m)
【解析】　宽＝－≈5 856.4(m).
【答案】　5 856.4
7.一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km.
【解析】　如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，
AB＝22×＝33(km)，
由正弦定理，得＝，
∴SB＝66(km).
【答案】　66
8.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝______.
【解析】　由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝902＋1502－2×90×150×＝44 100.
∴AB＝210，DE＝210.
【答案】　210
三、解答题
9.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.
解　设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
10.某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
解　如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD中，由余弦定理得
cos β＝
＝＝－，
∴sin β＝.
又sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β
＝×＋×＝.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
∴AD＝＝15(km).
故这个人再走15 km才能到达A城.
能力提升
11.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.若AB＝BD，则B，D间距离为________ km.
【解析】　在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝0.1 km，
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以AB＝＝(km)，
又因为BD＝AB，所以BD＝ km.
【答案】　
12.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝.
证明　在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，
∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP
＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.
在△ABP中，根据正弦定理，
＝，
即＝，
AP＝，
所以山高h＝APsin α＝.
创新猜想
13.(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　)
A. B.2 C.2 D.3
【解析】　如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC.
即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°.
∴x2－3x＋6＝0.
解得x＝2或x＝.
【答案】　AB
14.(多填题)甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是________米，乙楼的高是________米.
【解析】　甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(米)；
乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×
＝(米).
【答案】　20　
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