苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.1_复数的概念_教学设计

第十二章　复数
12.1　复数的概念
本章共分三小节,第一小节讲复数的概念,首先简要地说明了人们在解实数系方程的过程中,产生了扩充实数集的需要,从而自然地引入虚数单位i, 在此基础上,给出了复数的有关概念和复数的代数形式然后,通过了复数与复平面的点的一一对应，给出了复数的儿何意义，第二小节讲复数的运算,分别给出了复数的代数形式的加法、减法运算法则和复数的代数形式的乘法、除法的运算法则。第三小节讲数系的扩充,介绍了数集从自然数集开始,扩充到复数的过程,并说明了数系的每一次扩充,都解决了某些运算不能进行的矛盾。最后,说明了复数集内负数可以开平方的问题。
课程目标 学科素养
通过方程的解，了解引进复数的必要性. 认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. a数学抽象: 理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象素养. b数学运算: 理解复数相等的有关知识，体会数学运算素养.
1.教学重点：认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
2.教学难点：通过方程的解，了解引进复数的必要性.
多媒体调试、讲义分发。
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.
(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
2.复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
3.复数的分类
(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
复数
题型一　复数的概念
【例1】　写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
规律方法　复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
【训练1】　下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
答案　A
题型二　复数的分类
【例2】　(1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________；
(2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.
解析　(1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
(2)由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，
∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z).
答案　(1)±1　(2)kπ＋(k∈Z)
规律方法　根据复数的概念求参数的一般步骤：
第一步，判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；
第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；
第四步，明确结论.
【训练2】　实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
解　(1)当即m＝2时，复数z是实数.
(2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数.
题型三　两个复数相等
【例3】　已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
解　∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
规律方法　求解复数相等问题
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
【训练3】　关于x的方程3x－－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值.
解　设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m－－1＝(10－m)i，
∴
解得a＝58
1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
解析　令得a＝±，b＝5.
答案　C
2.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)
A.±1 B.±i
C.±i D.±2i
解析　x2＝－1×2，∴x＝±i.
答案　C
3.i2 021＝________.
解析　i2 021＝i2 020·i＝(i2)1 010·i＝(－1)1 010·i＝i.
答案　i
4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.
解析　关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
所以所以m＝n＝1.
答案　1
两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
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