苏教版（2019）高中数学必修第二册 12.1_复数的概念_练习（解析版）

12.1　复数的概念
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A.－i B.i C.－1 D.1
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
4.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A.1 B.0 C.－1 D.－1或1
5.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
二、填空题
6.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________.
7.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________.
8.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
三、解答题
9.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
10.已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
能力提升
11.下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若复数z满足z2∈R，则z∈R；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数是________.
12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围.
创新猜想
13.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是(　　)
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.－1没有平方根
14.(多填题)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________.
12.1　复数的概念答案
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A.－i B.i C.－1 D.1
【解析】　∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.
【答案】　A
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
【答案】　B
3.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
【解析】　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
【答案】　A
4.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A.1 B.0 C.－1 D.－1或1
【解析】　由题意知∴m＝0.
【答案】　B
5.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
【解析】　由题意，得解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
【答案】　B
二、填空题
6.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________.
【解析】　因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得所以x＝y＝1，所以xy＝1.
【答案】　1
7.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________.
【解析】　依题意知解得
即m＝3.
【答案】　3
8.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
【解析】　由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
【答案】　{0}
三、解答题
9.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解　(1)由得m＝2.
∴当m＝2时，z是实数.
(2)由得即m≠2且m≠－3.
∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
(3)由得即m＝3或m＝4.
∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
10.已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
解　∵M∪P＝P，∴M P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
能力提升
11.下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若复数z满足z2∈R，则z∈R；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数是________.
【解析】　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小.
②若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝±i，不满足z∈R.
③若a＝0，则ai不是纯虚数.
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确.
【答案】　0
12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围.
解　由z1＝z2，λ，m∈R，可得
整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4－.
∵θ∈，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈.
创新猜想
13.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是(　　)
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.－1没有平方根
【解析】　因实数是复数，故A错，B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错.
【答案】　ACD
14.(多填题)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________.
【解析】　设a是方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－，
＋＋3m＝0，所以m＝.
【答案】　　－
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