上蔡衡水实高2022-2023学年高三上学期期中考试
理数（学科）试题
注意事项：本试卷共150分，考试时间为120分钟．
单选题
1．设是虚数单位，复数满足，则的虚部为
A．1 B．-1 C．-2 D．2
2．已知集合，则集合A∩B的元素个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
3．若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．等差数列中，，，则（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
5．命题“，使得”的否定为（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，都有 D．，都有
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知双曲线的左，右焦点分別为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．已知函数，下列结论中正确的个数是（ ）
①的图象关于中心对称；②的图象关于对称；③的最大值为；④既是奇函数，又是周期函数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（ ）
A． B． C． D．
填空题
13．下列叙述：
（1）单位向量都相等；
（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
（4）方向不同的两个向量一定不平行.
其中正确的有________.(填所有正确的序号)
14．某同学使用计算器求个数据的平均数时，错将其中一个数据输为，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________．
15．直线与椭圆有公共点，则的取值范围是_______．
16．已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．
解答题
17．在中，分别是内角的对边.若
（1）求角；
（2）若且，求的面积.
18．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知，，.
(1)求证：平面；
(2)连接，求多面体的体积.
19．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩(单位：分)分组如下：第一组，第二组，第二组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如下图：
(1)求实数的值；
(2)若从第二组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取9名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从9人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率.
20．已知函数
（1）求的单调递增区间;
（2）在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知，b,a,c成等差数列,且,求a的值．
21．对于定义在D上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点，已知，
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若是函数的不动点，求使得不等式成立的整数k的最大值．
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
23．已知a，b，c都是实数，求证：.上蔡衡水实高2022-2023学年高三上学期期中考试
理数（学科） 参考答案
1．C
2．B
3．B
4．B
5．D
6．B
7．A
8．A
9．A
10．A
11．C
12．B
13．（2）
14．
15．
16．
17．（1）；（2）.
18．(1)证明略
(2)
19．（1）；（2）
20．（1）；（2）．
21．(1)不动点为和；
(2)2.
22．（1）略；（2）略
23．证明略.
